В процессе обработки и обобщения статистических данных возникает необходимость определения средних величин. Как правило, индивидуальные значения одного и того же признака у разных единиц совокупности неодинаковы.
Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.
Например, при изучении доходов рабочих предприятия обобщающей характеристикой служит средний доход одного рабочего. Для его определения общую сумму средств, направленных на потребление, в виде заработной платы, социальных и трудовых льгот, материальной помощи, дивидендов по акциям и процентов по вкладам в имущество предприятия за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) делят на численность рабочих предприятия. Средний доход характеризует то общее, что свойственно всей совокупности рабочих предприятия, т.е. уровень дохода массы рабочих в конкретных условиях функционирования данного предприятия в рассматриваемом периоде.
Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней.
Средние, исчисленные для каждой группы, называются групповыми средними.
Чем больше единиц совокупности, по которым рассчитывается средняя, тем она устойчивее, т.е. точнее. Расчет средней величины включает две операции:
I– суммирование данных по всем единицам (обобщение данных);
II – деление суммированных данных на число единиц совокупности.
– средняя величина для признака; n – количество единиц совокупности;
х i – индивидуальное значение признака каждой единицы совокупности.
Сущность средней величины определяет её особую значимость в условиях рыночной экономики. Средняя величина через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерности экономического развития.
Степенные средние :
ü средняя арифметическая;
ü средняя геометрическая;
ü средняя гармоническая;
ü средняя квадратическая;
ü средняя хронологическая.
Структурные средние: мода и медиана.
Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности усредняемого показателя и характера имеющихся исходных данных. Только тогда, когда средняя применима правильно, получают величины, имеющие реальный экономический смысл.
Средняя арифметическая – наиболее распространённый вид средней.
Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределён равномерно между всеми единицами совокупности.
Она исчисляется в тех случаях, когда объём осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом:
Простая арифметическая средняя исчисляется путем деления суммы значений на их количество.
Пример
: Заработная плата за январь у 3-х рабочих одного цеха составила: 6500, 4955, 5323 рубля. Средняя з/плата за месяц составляет: 
руб.
Пример: Вычислить средний стаж десяти работников торгового предприятия. Одиночное значение признака (лет): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.
= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 года.
Как видим, средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальные значения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущности средней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т.е. она может принимать такое числовое значение, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признака.
Средняя арифметическая взвешенная
Часто приходится рассчитывать среднее значение признака по ряду распределения, когда одно и то же значение признака встречается несколько раз. Объединив данные по величине признака (т.е. сгруппировав) и подсчитав число случаев повторения каждого из них, мы получим следующий вариационный ряд.
Следовательно, для исчисления взвешенной средней выполняются следующие последовательные операции: умножение каждого варианта на его частоту, суммирование полученных произведений, деление полученной суммы на сумму частот.
Средняя арифметическая взвешенная учитывает различное значение отдельных вариантов в пределах совокупности. Поэтому она должна употребляться во всех тех случаях, когда варианты имеют различную численность. Употребление простой средней в этих случаях недопустимо, так как оно неизбежно приводит к искажению статистических показателей.
Арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными объектами общую величину признака, в действительности варьирующую у каждого из них.
Иногда вычисление средних величин приходится производить и по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от – до). Для вычисления средней величины надо в каждом варианте определить серединное значение х, после чего произвести взвешивание обычным порядком х у
В закрытом интервале серединное значение определяется как полусумма значений нижней и верхней границ.
Задача исчисления средней по величинам интервального ряда осложняется тем, что неизвестны крайние границы начального и конечного интервалов. В этом случае предполагается, что расстояние между границами данного интервала такое же, как и в соседнем интервале.
Необходимо отметить, что, хотя мы и используем для расчета средней из интервального ряда формулу средней арифметической взвешенной, исчисленная средняя не является точной величиной, так как в результате умножения средних значений групп на их численность, мы не получим действительного значения. Степень расхождения зависит от ряда причин: 1 – число вариант. Чем больше число вариант, тем вероятнее, что середина интервала будет мало отличаться от групповой средней. Если же на каждую группу приходится малое число единиц, групповые средние могут находиться не только в середине, но и в близи верхней, либо нижней границы интервала.
Пример, требуется вычислить средний стаж работы 12 работников рекламного агентства. При этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.
Объединив данные по величине признака и подсчитав число случаев повторения каждого из них, проведём расчет среднего стажа по сгруппированным данным с помощью формулы средней взвешенной арифметической.
X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 года.
В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеющие особенности в изучении явлений и требующие применения различных средних в их решении. Учитывая, что статистические средние всегда выражают качественные свойства изучаемых общественных процессов и явлений, важно правильно выбрать форму средней, исходя из взаимосвязи явлений и их признаков.
Свойства средней арифметической:
Средняя арифметическая обладает рядом свойств, знание которых необходимо для понимания сущности средних, а также для упрощения их вычисления.
1. Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин:
Если x i = y i + z i то
Это правило показывает, в каких случаях можно суммировать средние величины. Если, например, выпускаемые изделия состоят из двух деталей y и z и на изготовление каждой из них расходуется в среднем у = 3 ч, z = 5 ч, то средние затраты времени на изготовление одного изделия (х ), будут равны: 3+5 = 8 ч, т.е. х = у + z..
2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону, т.е.
Потому что
Это правило показывает, что средняя является равнодействующей.
3. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число а, то средняя уменьшится или увеличится на это же число а:
4. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно уменьшится или соответственно увеличится в А раз:
5. Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и то же число d, то средняя не изменится:
Это свойство показывает, что средняя зависит не от размеров весов, а от соотношения между ними. Следовательно, в качестве весов могут выступать не только абсолютные, но и относительные величины.
Средняя хронологическая
Иногда, при анализе социально-экономических показателей, необходимо определить среднюю величину, если имеются данные равностоящего моментного ряда динамики. Например, среднемесячный запас товаров; среднесписочную численность продавцов за квартал, за полугодие, если известна численность продавцов на начало месяца; или определить среднегодовую численность населения территории, то используют среднюю хронологическую.
Х=( х 1 + х 2 +х 3 +…+х n -1 + х n) : (n-1)
Х – индивидуальное значение признака каждой единицы совокупности;
n – число единиц совокупности.
Средняя гармоническая
Средняя гармоническая – это величина обратная средней арифметической. Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной.
Средняя в такой форме называется средней гармонической взвешенной и обозначается х гар м.взв . Следовательно, средняя гармоническая тождественна средней арифметической. Она применяется тогда, когда неизвестны действительные веса, а известно произведение f x = z
В тех случаях, когда произведения f х одинаковы или равны единице (m=1), применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле
где х - отдельные варианты; п - их число.
Средняя геометрическая
Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел. Поэтому средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста
или
Это формула средней геометрической, которую можно сформулировать следующим образом:
Средняя геометрическаяравна корню степени п из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.
Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный ответ по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудалён как от максимального, так и от минимального значения признака.
Пример, В результате инфляции за первый год цена товара возросла в два раза к предыдущему; за второй год – ещё в три раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Рассчитать средний темп роста цены за год?
В расчете среднего темпа роста арифметическая средняя – непригодна. Геометрическая средняя даёт правильный ответ.
Х = х 1 *х 2 = 2*3 = 6 = 2,45 раза.
Средняя квадратическая
Похожая информация.
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Уральский Государственный Экономический Университет"
Центр дистанционного образования
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: "Статистика "
Исполнитель:
студент группы: ЭТр-09 СР
Трошева Наталья Юрьевна
г. Екатеринбург
2009г.
Введение
1.1 Виды средних величин и способы расчета
1.2 Структурные средние величины
2. Практическое задание
Заключение
Список литературы
Введение
Данная контрольная работа состоит из двух частей – теоретической и практической.
В теоретической части будет подробно рассмотрена такая важная статистическая категория как средняя величина с целью выявления её сущности и условий применения, а также выделения видов средних и способов их расчёта.
Практическая часть посвящена расчету и анализу важнейших показателей работы любого предприятия – планового уровня развития явления и общего индекса цен с целью выделения основных факторов, влияющих на изменение этих показателей.
1. Среднее величины: виды, свойства, область применения
Средняя величина – это обобщающая величина изучаемого признака в исследуемой совокупности, которая отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.
Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака.
Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Отсюда средняя величина выступает как "обезличенная", которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.
Для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений.
Необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:
качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина.
исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов
при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель, на который она должна быть ориентирована.
Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней - отражает общие черты изучаемого явления; средние величины, рассчитанные для каждой группы групповыми средними - дают характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.
1.1 Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины
Средние величины делятся на 2 больших вида:
степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая и др.). Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Если рассчитывать все виды степенных средних для одних и тех же данных, то их значения окажутся одинаковыми. Тогда действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина ().
структурные средние (мода, медиана). Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют "структурными позиционными средними". Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.
Для наглядности наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в Таблице 1.
Таблица 1 Виды степенных средних
|
Вид степенной средней |
Показатель степени |
Формула расчета |
|
|
Взвешенная |
|||
|
1. Гармоническая |
|
||
|
2. Геометрическая |
|
|
|
|
3. Арифметическая |
|
||
Средняя арифметическая величина представляет собой такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы исчислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы.
Средняя арифметическая простая величина равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений. Она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака.
Средняя арифметическая взвешенная – это средняя их вариант, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес.
Основные свойства средней арифметической:
Если индивидуальные значения признака, т.е. варианты, уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.
Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число.
Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.
Сумма отклонений отдельных значений признака (вариант) от средней арифметической равна нулю.
Прежде чем выполнять расчет средней величины необходимо преобразовать интервальный ряд в дискретный. Для этого находят середину интервала в каждой группе. Ее определяют делением суммы верхней и нижней границы пополам.
Формула средней гармонической
взвешенной величины применяется когда
информация не содержит частот
по отдельным вариантам x
совокупности, а представлена как
произведение
.
Для того чтобы исчислить среднюю,
необходимо обозначить
,
откуда
.
Теперь преобразуем формулу средней
арифметической таким образом, чтобы по
имеющимся данным x
и m
можно было исчислить среднюю. В формулу
средней арифметической взвешенной
вместо
подставим m,
а вместо f
– отношение
,
и таким образом получим формулу средней
гармонической взвешенной.
Средняя гармоническая простая величина применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, т.е. ,
Средняя геометрическая величина применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.
Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.
Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике , варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики . Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.
Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.
В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.
Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.
Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:
- качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;
- исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда вычисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимно погашаются;
- при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показа-телъ (свойство), на который она должна быть ориентирована.
Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.
Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.
Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.
В экономическом анализе использование средних величин является основным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.
Виды средних величин
В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:
- степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадра-тическая, средняя кубическая);
- структурные средние (мода, медиана).
Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения, поэтому их называют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.
Самый распространенный вид средней величины - средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. Вычисление данной величины сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности. Например, пять рабочих выполняли заказ на изготовление деталей, при этом первый изготовил 5 деталей, второй - 7, третий - 4, четвертый - 10, пятый- 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для определения средней выработки одного рабочего следует применить формулу простой средней арифметической:
т. е. в нашем примере средняя выработка одного рабочего равна
Наряду с простой средней арифметической изучают среднюю арифметическую взвешенную. Например, рассчитаем средний возраст студентов в группе из 20 человек , возраст которых варьируется от 18 до 22 лет, где xi - варианты осредняемого признака, fi - частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Средний возраст студентов
Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:
Для выбора средней арифметической взвешенной существует определенное правило: если имеется ряд данных по двум показателям, для одного из которых надо вычислить
среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя неизвестны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя величина должна высчитывать-ся по формуле средней арифметической взвешенной.
В некоторых случаях характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателем может служить только другой вид средней величины - средняя гармоническая. В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность при расчете обобщающих статистических показателей в связи с повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники. Большое практическое значение приобрела средняя гармоническая величина, которая тоже бывает простой и взвешенной. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное деление одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.
Например, пусть известно, что автомобиль прошел первые 210 км со скоростью 70 км/ч, а оставшиеся 150 км со скоростью 75 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в 360 км, используя формулу средней арифметической, нельзя. Так как вариантами являются скорости на отдельных участках xj = 70 км/ч и Х2 = 75 км/ч, а весами (fi) считаются соответствующие отрезки пути, то произведения вариантов на веса не будут иметь ни физического, ни экономического смысла. В данном случае смысл приобретают частные от деления отрезков пути на соответствующие скорости (варианты xi), т. е. затраты времени на прохождение отдельных участков пути (fi/ xi). Если отрезки пути обозначить через fi, то весь путь выразиться как Σfi, а время, затраченное на весь путь, - как Σ fi/ xi , Тогда средняя скорость может быть найдена как частное от деления всего пути на общие затраты времени:
В нашем примере получим:
Если при использовании средней гармонической веса всех вариантов (f) равны, то вместо взвешенной можно использовать простую (невзвешенную) среднюю гармоническую:
где xi - отдельные варианты; n - число вариантов осредняемого признака. В примере со скоростью простую среднюю гармоническую можно было бы применить, если бы были равны отрезки пути, пройденные с разной скоростью.
Любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Так, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней величиной (средней скоростью) не должно измениться общее расстояние.
Форма (формула) средней величины определяется характером (механизмом) взаимосвязи этого итогового показателя с осредняемым, поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем. Для вывода формулы средней нужно составить и решить уравнение, используя взаимосвязь осредняемого показателя с определяющим. Это уравнение строится путем замены вариантов осредняемого признака (показателя) их средней величиной.
Кроме средней арифметической и средней гармонической в статистике используются и другие виды (формы) средней величины. Все они являются частными случаями степенной средней. Если рассчитывать все виды степенных средних величин для одних и тех же данных, то значения
их окажутся одинаковыми, здесь действует правило мажо-рантности средних. С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина. Наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Средняя геометрическая применяется, когда имеется n коэффициентов роста, при этом индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле
Формула средней геометрической взвешенной имеет следующий вид:
Приведенные формулы идентичны, но одна применяется при текущих коэффициентах или темпах роста, а вторая - при абсолютных значениях уровней ряда.
Средняя квадратическая применяется при расчете с величинами квадратных функций, используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения и вычисляется по формуле
Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по другой формуле:
Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций и вычисляется по формуле
средняя кубическая взвешенная:
Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:
где - средняя величина; - индивидуальное значение; n - число единиц изучаемой совокупности; k - показатель степени, определяющий вид средней.
При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:
Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние - мода (Мо) и медиана (Ме).
Мода - величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т. е. вариант, обладающий наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле
где х0 - нижняя граница интервала; h - величина интервала; fm - частота интервала; fm_ 1 - частота предшествующего интервала; fm+ 1 - частота следующего интервала.
Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой - больше ее. Медиана используется при изучении элемента, значение которого больше или равно или одновременно меньше или равно половине элементов ряда распределения. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены значения признака, иными словами, где находится их центр.
Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Задача нахождения медианы для дискретного вариационного ряда решается просто. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианного варианта определяется как (п +1) / 2 с нечетным числом членов п. Если же количество членов ряда является четным числом, то медианой будет являться среднее значение двух вариантов, имеющих порядковые номера n / 2 и n / 2 + 1.
При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле
где X0 - нижняя граница интервала; h - величина интервала; fm - частота интервала; f - число членов ряда;
∫m-1 - сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.
Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили - на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей - девять.
Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака. Эти, не очень характерные для совокупности значения вариантов, влияя на величину средней арифметической, не влияют на значения медианы и моды, что делает последние очень ценными для экономико-статистического анализа показателями.
Показатели вариации
Целью статистического исследования является выявление основных свойств и закономерностей изучаемой статистической совокупности. В процессе сводной обработки данных статистического наблюдения строят ряды распределения. Различают два типа рядов распределения - атрибутивные и вариационные, в зависимости от того, является ли признак, взятый за основу группировки, качественным или количественным.
Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности не постоянны, более или менее различаются между собой. Такое различие в величине признака носит название вариации. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Наличие вариации у отдельных единиц совокупности обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.
Другой важной задачей статистического исследования является определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности. Для решения такой задачи в статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация. В практике исследователь сталкивается с достаточно большим количеством вариантов значений признака, что не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Для этого проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда. Ранжированный ряд сразу дает общее представление о значениях, которые принимает признак в совокупности.
Недостаточность средней величины для исчерпывающей характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Использование этих показателей вариации дает возможность сделать статистический анализ более полным и содержательным и тем самым глубже понять сущность изучаемых общественных явлений.
Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум - это наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения. Обозначим частоту повторения значения признака fi, сумма частот, равная объему изучаемой совокупности будет:
где k - число вариантов значений признака. Частоты удобно заменять частостями - wi. Частость - относительный показатель частоты - может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Формально имеем:
Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = Xmax - Xmin. Этот показатель дает лишь самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Он совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, а его зависимость может придавать ему неустойчивый, случайный характер только от крайних значений признака. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних величин. Область применения этого показателя ограничена достаточно однородными совокупностями, точнее, характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете изменчивости всех значений признака.
Для характеристики вариации признака нужно обобщить отклонения всех значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. Такие показатели
вариации, как среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, основаны на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической.
Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:
Абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической; f- частота.
Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах с неравными частотами.
Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот очень распространенный в статистике способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней величины с их последующим усреднением. При этом мы получаем новый показатель вариации - дисперсию.
Дисперсия (σ 2) - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:
Вторая формула применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).
В экономико-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение (σ) представляет собой корень квадратный из дисперсии:
Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражаются в тех же единицах измерения, что и варианты.
В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста персонала и его квалификации, стажа работы и размера заработной платы и т. д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков - среднее линейное и среднее квадртическое отклонение - не пригодны. Нельзя, в самом деле, сравнивать колеблемость стажа работы, выражаемую в годах, с колеблемостью заработной платы, выражаемой в рублях и копейках.
При сравнении изменчивости различных признаков в совокупности удобно применять относительные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, получают относительные показатели колеблемости:
Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному.
В статистике средней величиной называют обобщающий показатель совокупности однородных общественных или природных явлений, который показывает типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу совокупности в конкретный момент времени.
Нахождение среднего - один из распространенных приемов обобщения. Средняя величина отражает то общее, что типично (характерно) для всех единиц изучаемой совокупности, но в то же время она игнорирует различия отдельных единиц. Мы уже говорили, что при неограниченном увеличении количества наблюдений (п -» оо) средняя величина, согласно закону больших чисел, будет неограниченно приближаться к его математическому ожиданию, т. е. при п -> оо можно записать х ~ М[Х], здесь х - средняя величина. То есть средняя величина - это оценка математического ожидания.
Сделаем небольшое отступление и приведем краткие сведения об оценках параметров, полученных в результате п опытов. Предположим, что надо определить по результатам п опытов некоторый параметр d. Приближенное значение этого параметра будем называть его оценкой и обозначим d. Оценка d должна удовлетворять ряду требований, чтобы в каком-то смысле быть оценкой “доброкачественной”.
Оценка d при увеличении числа опытов должна сходиться по вероятности к искомому параметру, т. е.
Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.
Кроме того, пользуясь оценкой d вместо самого параметра d, желательно не делать систематической ошибки, т. е. математическое ожидание оценки должно быть равным самому параметру:
Оценка, которая обладает данным свойством, называется несмещенной.
Было бы хорошо, если бы выбранная несмещенная оценка d была как можно менее случайной, т. е. обладала по сравнению с другими минимальной дисперсией:
Оценка, которая обладает данным свойством, называется эффективной.
В реальных условиях не всегда удается удовлетворить всем перечисленным требованиям. Тем не менее при выборе оценки любого параметра желательно эту оценку рассмотреть со всех перечисленных точек зрения.
Вернемся к средним величинам. При их вычислении при большом количестве наблюдений случайности взаимопога- шаются (это следует из закона больших чисел), следовательно, можно абстрагироваться от несущественных особенностей изучаемого явления и от количественных значений признака в каждом конкретном опыте.
Крупный вклад в обоснование и развитие теории средних величин внес А. Кетле. Согласно его учению массовые процессы формируются под влиянием двух групп причин. К первой группе общих для всех единиц массовой совокупности причин относятся те из них, которые определяют состояние массового процесса. Они формируют типичный уровень для единиц данной однородной совокупности.
Вторая группа причин формирует специфические особенности отдельных единиц массовой совокупности и, следовательно, их разброс от типичного уровня.
Эти причины не связаны с природой изучаемого явления, поэтому их называют случайными причинами.
Средняя величина, полученная по всей совокупности, называется общей, а средние величины, вычисленные по каждой группе, называются групповыми средними. Есть два вида средних величин: степенные средние (средняя арифметическая и др.), структурные средние (мода, медиана).
Рассмотрим степенные средние. Степенные средние определяются исходя из формулы
где х - среднее значение;
х { - текущее значение изучаемого признака;
т - показатель степени средней;
п - количество признаков (вариант).
В зависимости от показателя т степени средней получаем следующие виды степенных средних:
- - среднюю гармоническую х гар, если т = -1;
- - среднюю геометрическую эс геом, если т = 0;
- - среднюю арифметическую х ар, если т = 1;
- - среднюю квадратическую х квад, если т = 2;
- - среднюю кубическую х куб., если т = 3,
- - ИТ. д.
При использовании одних и тех же данных чем больше т
в формуле (6.4), тем больше значение средней, т. е.
Приведем конкретные формулы для вычисления некоторых видов степенных средних.
При т = -1 получаем среднюю гармоническую:
В том случае, если исходные данные сгруппированы, используются взвешенные средние. В качестве веса может использоваться частота р (количество опытов, в которых появилось интересующее нас событие) или относительная частота
Запишем формулы для взвешенной средней гармонической:
При т = 0 получаем среднюю геометрическую:
т. е. получили неопределенность.
Для ее раскрытия прологарифмируем обе части формулы (6.4.)
затем подставляем т = 0 и получаем
т. е. имеем неопределенность вида Для раскрытия этой неопределенности применяем правило Лопиталя. Полученный результат потенцируется, и окончательно получаем
Широкое применение средняя геометрическая получила для нахождения средних темпов изменения в рядах динамики и в рядах распределения.
Запишем формулы для взвешенной средней геометрической.
Приведем конкретный пример нахождения средней геометрической взвешенной по формуле (6.11).
Пример 6.1
Исходные данные наблюдений приведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
В табл. 6.1 х. - результаты, принятые некоторой случайной величиной X в г-м опыте; р. - частота события - показывает, сколько раз в результате всех опытов появилось интересующее нас событие. Например, х = 2 появилось в 24 опытах 5 раз.
Относительная частота события (частость).
По формуле (6.11) получаем:
По формуле (6.12) имеем
При т = 1 получаем среднюю арифметическую:
Средняя арифметическая - наиболее распределенный вид среди всех видов степенных средних. Она используется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных единиц.
Приведем формулы для нахождения средней арифметической взвешенной:
При большом количестве наблюдений, согласно закону больших чисел, формула (6.15) определяет оценку математического ожидания т. е.
При т = 2 получаем среднюю квадратическую:
Она используется для вычисления среднего размера признака, выраженного в квадратных единицах.
Формулы для нахождения средней квадратической взвешенной имеют вид:
При га = 3 получаем среднюю кубическую:
Она применяется для нахождения среднего размера признака, выраженного в кубических единицах.
Формулы для вычисления средней кубической взвешенной имеют вид:
Теперь рассмотрим структурные средние: моду и медиану. В статистике, в отличие от теории вероятностей, имеем дело с оценками этих величин. Мы будем обозначать их теми же буквами, что и в главе 2, но с тильдой.
Мода в статистике (Мо) - значение случайной величины, которое встречается в статистическом ряду распределения чаще всего, т. е. имеет наибольшую частоту или относительную частоту (частость).
Например, в табл. 6.1 наибольшая относительная частота / = 0,33, поэтому мода равна Мо = 5.
Если мы имеем группированный ряд распределения с равными интервалами, то моду можно найти по формуле
где Мо нижн - нижняя граница модального интервала;
г Мо - длина модального интервала;
Рмо - частота модального интервала;
М-мо_, - частота интервала, предшествующего модальному;
М-мо +1 -- частота интервала, следующего за модальным.
Заметим, что для расчета можно использовать и относительные частоты.
Медиана в статистике - варианта, которая находится в середине ранжированного ряда распределения, т. е. значение медианы находиться по ее порядковому номеру.
Если ряд распределения имеет нечетное число элементов, номер медианы находиться по формуле
Например, в табл. 6.2 приведены величины окладов профессорско-преподавательского состава кафедры высшей математики.
Таблица 6.2
Количество элементов ряда равно 5, поэтому по формуле (6.23) находим номер медианы , следовательно, меди
ана в данном случае равна
Если ряд содержит четное число элементов, то варианта находится как средняя из двух вариант, находящихся в середине ряда.
В группированном ряду распределения медиана (так как она делит всю совокупность на две равные части) находится в каком-то из интервалов.
Кумулятивная (накопленная) частота (или относительная частота) равна или превышает полусумму всех частот ряда (для относительных частот она равна 1/2 или превышает 1/2).
В этом случае значение медианы вычисляется по формуле
где - нижняя граница медианного интервала;
Длина медианного интервала;
Полусумма частот;
Сумма частот, накопленная до начала медианного интервала;
Частота медианного интервала.
В данной главе описывается назначение средних величин, рассматриваются их основные виды и формы, методика расчета. При изучении представленного материала необходимо усвоить требования к построению средних величин, так как их соблюдение позволяет использовать эти величины как типические характеристики значений признака по совокупности однородных единиц.
Формы и виды средних величин
Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику уровня значений признака, которая получена в расчете на единицу совокупности. В отличие от относительной величины, которая является мерой соотношения показателей, средняя величина служит мерой признака на единицу совокупности.
Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.
Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть существенные и случайные. Например, ставки процента по банковским ссудам определяются исходными для всех кредитных организаций факторами (уровень резервных требований и базовая ставка процента gо ссудам, предоставляемым коммерческим банкам центральным банком, и др.), а также особенностями каждой конкретной сделки в зависимости от риска, присущего данной ссуде, ее размера и срока погашения, издержек по оформлению ссуды и контролю за ее погашением и др.
В средней величине обобщаются индивидуальные значения признака и отражается влияние общих условий, наиболее характерных для данной совокупности в конкретных условиях места и времени. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Средняя величина будет отражать типичный уровень признака в данной совокупности единиц, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. В связи с этим метод средних используют в сочетании с методом группировок.
Средние величины, характеризующие совокупность в целом, называют общими, а средние, отражающие особенность группы или подгруппы, – групповыми.
Сочетание общих и групповых средних позволяет проводить сравнения во времени и пространстве, существенно расширяет границы статистического анализа. Например, при подведении итогов переписи 2002 г. было установлено, что для России, как и для большинства европейских стран, характерно старение населения. По сравнению с переписью 1989 г. средний возраст жителей страны увеличился на три года и составил 37,7 года, мужчин – 35,2 года, женщин – 40,0 лет (по данным 1989 г. эти показатели соответственно были 34,7, 31,9 и 37,2 лет). По данным Росстата, ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 2011 г. мужчин – 63 года, женщин – 75,6 лет.
Каждая средняя отражает особенность изучаемой совокупности по какому-то одному признаку. Для принятия практических решений, как правило, необходима характеристика совокупности по нескольким признакам. В этом случае используют систему средних величин.
Например, для достижения должного уровня доходности операций при приемлемом уровне риска банковской деятельности средние ставки процента по выданным кредитам устанавливают с учетом средних ставок процента по депозитам и другим финансовым инструментам.
Форма, вид и методика расчета средней величины зависят от поставленной цели исследования, вида и взаимосвязи изучаемых признаков, а также от характера исходных данных. Средние величины делятся на две основные категории:
- 1) степенные средние;
- 2) структурные средние.
Формула средней определяется значением степени применяемой средней. С увеличением показателя степени k возрастает соответственно средняя величина.
Загрузка...
