Прежде, чем научиться находить экстремумы функции, необходимо понять, что же такое экстремум. Самое общее определение экстремума гласит, что это употребляемое в математике наименьшее или наибольшее значение функции на определенном множестве числовой линии или графике. В том месте, где находится минимум, появляется экстремум минимума, а там, где максимум – экстремум максимума. Также в такой дисциплине, как математический анализ, выделяют локальные экстремумы функции. Теперь давайте рассмотрим, как найти экстремумы.
Экстремумы в математике относятся к важнейшим характеристикам функции, они показывают её самое большое и самое маленькое значение. Находятся экстремумы преимущественно в критических точках находимых функций. Стоит отметить, что именно в точке экстремума функция кардинально меняет своё направление. Если просчитать производную от точки экстремума, то она, согласно определению, должна быть равна нулю или же вовсе будет отсутствовать. Таким образом, чтобы узнать, как найти экстремум функции, необходимо выполнить две последовательные задачи:
- найти производную для той функции, которую необходимо определить заданием;
- найти корни уравнения.
Последовательность нахождения экстремума
- Оформите в письменном виде функцию f(x), которая задана. Найдите её производную первого порядка f "(x). То выражение, которое получится, приравняйте к нулю.
- Теперь вам предстоит решить то уравнение, которое получилось. Результирующие решения и будут корнями уравнения, а также критическими точками определяемой функции.
- Теперь определяем, какими именно критическими точками (максимума или минимума) являются найденные корни. Следующим этапом, после того, как мы узнали, как находить точки экстремума функции, является нахождение второй производной от искомой функции f " (x). Необходимо будет подставить в конкретное неравенство значения найденных критических точек и затем посчитать, что получится. Если произойдет так, что вторая производная окажется больше нуля в критической точке, то ею и будет являться точка минимума, а в противном случае – это будет точка максимума.
- Остаётся посчитать значение начальной функции в необходимых точках максимума и минимума функции. Чтобы это сделать, подставляем полученные значения в функцию и рассчитываем. Однако стоит отметить, что, если критическая точка оказалась максимумом, то и экстремум будет максимальным, а если минимумом, то минимальным по аналогии.
Алгоритм нахождения экстремума
Чтобы обобщить полученные знания, составим краткий алгоритм того, как находить точки экстремума.
- Находим область определения заданной функции и её интервалы, которые точно определяют, на каких промежутках функция непрерывна.
- Находим производную от функции f "(x).
- Вычисляем критические точки уравнения y = f (x).
- Анализируем изменения направления функции f (x), а также знак производной f "(x) там, где критические точки разделяют область определения данной функции.
- Теперь определяем, является ли каждая точка на графике максимумом или минимумом.
- Находим значения функции в тех точках, которые являются экстремумами.
- Фиксируем результат данного исследования – экстремумы и промежутки монотонности. Вот и все. Теперь мы рассмотрели, как можно найти экстремум на любом промежутке. Если вам необходимо найти экстремум на определенном промежутке функции, то делается это аналогичным образом, только обязательно учитываются границы производимого исследования.
Итак, мы рассмотрели, как найти точки экстремума функции. При помощи несложных вычислений, а также знаний о нахождении производных, можно найти любой экстремум и вычислить его, а также графически его обозначить. Нахождение экстремумов является одним из важнейших разделов математики, как в школе, так и в Высшем учебном заведении, поэтому, если вы научитесь правильно их определять, то учиться станет намного проще и интереснее.
Экстремум
(от лат. extremum - крайнее)
значение непрерывной функции f
(x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х 0
функция f
(x) имеет в x 0
максимум (минимум), если существует окрестность (x 0 +
δ, x 0
- δ) этой точки, содержащаяся в области определения f
(x
),
и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f
(x 0
), ≥ f
(x
) [соответственно, f
(x 0
) ≤ f
(x
)]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f
(x 0
) > f
(x
) [или f
(x 0
) (x
)] при х
≠ x 0 ,
то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае - о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1
в точке А достигается строгий максимум, в точке В - нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f
(x
) имела Э. в некоторой точке x 0 ,
необходимо, чтобы она была непрерывна в x 0
и чтобы либо f`
(x 0
) =
0 (точка А на рис. 1
), либо f`
(x 0
) не существовала (точка С на рис. 1
). Если при этом в некоторой окрестности точки x 0
производная f"
(x
) слева от x 0
положительна, а справа отрицательна, то f
(x
) имеет в x 0
максимум; если f"
(x
)
слева от x 0
отрицательна, а справа положительна, то - минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f"
(x
) не меняет знака при переходе через точку x 0 ,
то функция f
(x
) не имеет Э.
в точке x 0
(точки D, Е и F на рис. 1
). Если f
(x
) в точке x 0
имеет п
последовательных производных, причём f"
(x 0
) = f``
(x 0
) =...= f (n-1) (x 0
)=0,
a f
(n) (x 0
)≠0,
то при п
нечётном f
(x
) не имеет Э. в точке x 0 ,
а при п
чётном имеет минимум, если f
(n) (x 0
) > 0, и максимум, если f
(n) (x 0
) Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции (См. Наибольшее и наименьшее значения функции).
Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2
частные производные равны нулю в точке М
, на рис. 3
в точке М
они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М
(х 0 , y 0
) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f
(x, у
) и в самой точке f" x = f" y =
0, Δ = f "
xx f " уу
> 0,
то f
(x, у
) в точке М
имеет Э. (максимум при f
" xx 0 и минимум при f
" xx >
0); Э. в точке М
не существует, если Δ М
является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4
). Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы Σ
n i, k=1 a ik
Δx i
Δx k
Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении (См. Вариационное исчисление). Лит.:
Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Синонимы :Смотреть что такое "Экстремум" в других словарях:
- (от латинского extremum крайнее), общее название максимума и минимума … Современная энциклопедия
- (от лат. extremum крайнее) см. Максимум и минимум … Большой Энциклопедический словарь
Сущ., кол во синонимов: 1 термин (18) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
- (от лат. extremum крайнее) англ. extreme; нем. Extremum. Значение нек рой величины или функции / (х), являющееся ее максимумом или минимумом. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии
экстремум - крайнее значение — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы крайнее значение EN extreme value … Справочник технического переводчика
Экстремум - (от латинского extremum крайнее), общее название максимума и минимума. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
У этого термина существуют и другие значения, см. Экстремум (значения). Экстремум (лат. extremum крайний) в математике максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум,… … Википедия
- (лат. extremum крайнее) мат. наибольшие и наименьшие значения функции; употр. для объединения понятий максимума и минимума. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, 2009. экстремум [ Словарь иностранных слов русского языка
- [рэ], а; м. [лат. extremum крайнее] Матем. Наибольшее и наименьшее значения функции, включающие понятия минимума и максимума. * * * экстремум (от лат. extremum крайнее), см. Максимум и минимум. * * * ЭКСТРЕМУМ ЭКСТРЕМУМ (от лат. extremum… … Энциклопедический словарь
экстремум - Экстремальная точка, Экстремум (Extreme point) Самая верхняя, самая нижняя, крайняя левая и крайняя правая точки контура, то есть точки в пределах контура знака, значение координат которых по одной из осей минимальное или максимальное … Шрифтовая терминология
Книги
- Комплект таблиц. Математика. Производная и ее применение. 12 таблиц + карточки + методика , . Учебный альбом из 12 листов и 48 карточек. Приращение аргумента. Приращение функции. Производная. Физический производной. Касательная к кривой. Геометрический смыслпроизводной. Критические…
С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .
Правила ввода функций :
Необходимое условие экстремума функции одной переменной
Уравнение f" 0 (x *) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.Достаточное условие экстремума функции одной переменной
Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x * выполняется условие:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0
То точка x * - локальный (глобальный) максимум.
Пример №1
. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
на отрезке .
Решение.
Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1
Пример №2
. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; 
, значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.
Пример №3
. Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.
Функции, вовсе необязательно знать о наличии первой и второй производной и понимать их физический смысл. Для начала нужно уяснить следующее:
- экстремумы функции максимизируют или, наоборот, минимизируют значение функции в сколь угодно малой окрестности;
- в точке экстремума не должно быть разрыва функции.
А теперь то же самое, только простым языком. Посмотрите на кончик стержня шариковой ручки. Если ручку расположить вертикально, пишущим концом вверх, то самая середина шарика будет экстремумом — наивысшей точкой. В этом случае говорят о максимуме. Теперь, если повернуть ручку пишущим концом вниз, то на середке шарика уже будет минимум функции. С помощью рисунка, приведенного здесь же, можно представить перечисленные манипуляции для канцелярского карандаша. Итак, экстремумы функции — это всегда критические точки: ее максимумы или минимумы. Прилегающий участок графика может быть сколь угодно острым или плавным, но он должен существовать с обеих сторон, только в этом случае точка является экстремумом. Если график присутствует лишь с одной стороны, точка эта экстремумом являться не будет даже в том случае, если с одной ее стороны условия экстремума выполняются. Теперь изучим экстремумы функции с научной точки зрения. Дабы точка могла считаться экстремумом, необходимо и достаточно, чтобы:
- первая производная равнялась нулю или не существовала в точке;
- первая производная меняла свой знак в этой точке.
Условие трактуется несколько иначе с точки зрения производных более высокого порядка: для функции, дифференцируемой в точке, достаточно, чтобы существовала производная нечетного порядка, неравная нулю, при том, что все производные более низшего порядка должны существовать и быть равными нулю. Это максимально простое толкование теорем из учебников Но для самых обычных людей стоит пояснить этот момент примером. За основу берется обыкновенная парабола. Сразу оговоримся, в нулевой точке у нее имеется минимум. Совсем немного математики:
- первая производная (X 2) | = 2X, для нулевой точки 2Х = 0;
- вторая производная (2Х) | = 2, для нулевой точки 2 = 2.
Таким нехитрым образом проиллюстрированы условия, определяющие экстремумы функции и для производных первого порядка, и для производных высшего порядка. Можно к этому добавить, что вторая производная как раз является той самой производной нечетного порядка, неравной нулю, о которой говорилось чуть выше. Когда речь заходит про экстремумы функции двух переменных, то условия должны выполняться для обоих аргументов. Когда происходит обобщение, то в ход идут частные производные. То есть необходимо для наличия экстремума в точке, чтобы обе производные первого порядка равнялись нулю, либо хотя бы одна из них не существовала. Для достаточности наличия экстремума исследуется выражение, представляющее собой разность произведения производных второго порядка и квадрата смешанной производной второго порядка функции. Если это выражение больше нуля, значит, экстремум имеет место быть, а если присутствует равенство нулю, то вопрос остается открытым, и нужно проводить дополнительные исследования.
Это довольно-таки занятный раздел математики, с которым сталкиваются абсолютно все ученики выпускных классов и студенты. Тем не менее далеко не каждому нравится матан. Некоторые не могут понять даже элементарных вещей наподобие, казалось бы, стандартного исследования функции. Данная статья призвана исправить подобную оплошность. Хотите поподробнее узнать об анализе функции? Желаете узнать, что такое точки экстремума и как их найти? Тогда данная статья для вас.
Исследование графика функции
Для начала стоит понять, зачем вообще необходимо анализировать график. Существуют простые функции, начертить которые не составит труда. Ярким примером подобной функции может служить парабола. Начертить ее график не составит труда. Все что необходимо, так это с помощью простого преобразования найти числа, при которых функция принимает значение 0. И в принципе это все что знать для того, чтобы начертить график параболы.
Но что делать, если функция, график которой нам нужно начертить, намного сложнее? Поскольку свойства сложных функций довольно-таки неочевидны, необходимо проводить целый анализ. Только после этого можно изобразить функцию графически. Как же это сделать? Ответ на этот вопрос вы сможете найти в данной статье.
План анализа функции
Первое, что необходимо сделать, так это провести поверхностное исследование функции, в ходе которого мы найдем область определения. Итак, начнем по порядку. Область определения - это совокупность тех значений, которыми функция задается. Проще говоря, это те числа, которые можно использовать в функции вместо х. Для того чтобы определить область определения, необходимо просто взглянуть на запись. К примеру, очевидно, что у функции у (х) = х 3 + х 2 - х + 43 область определения - множество действительных чисел. Ну а с функцией наподобие (х 2 - 2х)/х все немного иначе. Поскольку число в знаменателе не должно равняться 0, то областью определения данной функции будут все действительные числа, помимо нуля.
Далее необходимо найти так называемые нули функции. Это те значения аргумента, при которых вся функция принимает значения ноль. Для этого необходимо приравнять функцию к нулю, подробно ее рассмотреть и совершить некоторые преобразования. Возьмём уже знакомую нам функцию у(х) = (х 2 - 2х)/х. Из школьного курса мы знаем, что дробь равна 0 тогда, когда числитель равен нулю. Поэтому знаменатель мы отбрасываем и начинаем работать с числителем, приравнивая его к нулю. Получаем х 2 - 2х = 0 и выносим х за скобочки. Отсюда х (х - 2) = 0. В итоге получаем, что наша функция равна нулю тогда, когда х равняется 0 или же 2.
Во время исследования графика функции многие сталкиваются с проблемой в виде точек экстремума. И это странно. Ведь экстремумы - это довольно-таки простая тема. Не верите? Убедитесь сами, прочитав данную часть статьи, в которой мы поговорим о точках минимума и максимума.
Для начала стоит разобраться в том, что собой представляет экстремум. Экстремум - это предельное значений, которое достигает функция на графике. Отсюда получается, что существует два крайних значения - максимум и минимум. Для наглядности можно посмотреть на картинку, что расположена выше. На исследованной области точка -1 является максимумом функции у (х) = х 5 - 5х, а точка 1, соответственно, минимумом.
Также не стоит путать между собой понятия. Точки экстремума функции - это те аргументы, при которых заданная функция приобретает крайние значения. В свою очередь, экстремумом называют значение минимумов и максимумов функции. К примеру, вновь рассмотрим рисунок выше. -1 и 1 - это точки экстремума функции, а 4 и -4 - это сами экстремумы.
Нахождение точек экстремума
Но как все-таки найти точки экстремума функции? Все довольно-таки просто. Первое, что необходимо сделать - найти производную уравнения. Допустим, мы получили задание: "Найдите точки экстремума функции y (x), x - аргумент. Для наглядности возьмем функцию у (х) = х 3 + 2х 2 + х + 54. Проведем дифференцирование и получим следующее уравнение: 3х 2 + 4х + 1. В итоге мы получили стандартное квадратное уравнение. Все, что необходимо сделать дальше - приравнять его к нулю и найти корни. Поскольку дискриминант больше нуля (D = 16 - 12 = 4), данное уравнение определяется двумя корнями. Находим их и получаем два значения: 1/3 и -1. Это и будут точки экстремума функции. Однако как все-таки определить, кто есть кто? Какая точка является максимумом, а какая минимумом? Для этого нужно взять соседнюю точку и узнать ее значение. К примеру, возьмем число -2, которое находится слева по координатной прямой от -1. Подставляем это значение в наше уравнение у(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. В итоге мы получили положительное число. Это значит, что на промежутке от 1/3 до -1 функция возрастает. Это, в свою очередь, обозначает, что на промежутках от минус бесконечности до 1/3 и от -1 до плюс бесконечности функция убывает. Таким образом, можно сделать вывод, что число 1/3 - точка минимума функции на исследованном промежутке, а -1 - точка максимума.
Также стоит отметить, что на ЕГЭ требуют не просто найти точки экстремума, Но и провести с ними какую-то операцию (прибавить, умножить и т.д.). Именно по этой причине стоит обратить особое внимание на условия задачи. Ведь из-за невнимательности можно потерять баллы.
Загрузка...
