Продолжаем наш разговор про наиболее употребляемые формулы в тригонометрии. Важнейшие из них – формулы сложения.
Определение 1
Формулы сложения позволяют выразить функции разности или суммы двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.
Для начала мы приведем полный список формул сложения, потом докажем их и разберем несколько наглядных примеров.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Основные формулы сложения в тригонометрии
Выделяют восемь основных формул: синус суммы и синус разности двух углов, косинусы суммы и разности, тангенсы и котангенсы суммы и разности соответственно. Ниже приведены их стандартные формулировки и вычисления.
1.Синус суммы двух углов можно получить следующим образом:
Вычисляем произведение синуса первого угла на косинус второго;
Умножаем косинус первого угла на синус первого;
Складываем получившиеся значения.
Графическое написание формулы выглядит так: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Синус разности вычисляется почти так же, только полученные произведения нужно не сложить, а вычесть друг из друга. Таким образом, вычисляем произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго и находим их разность. Формула пишется так: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Косинус суммы. Для него находим произведения косинуса первого угла на косинус второго и синуса первого угла на синус второго соответственно и находим их разность: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Косинус разности: вычисляем произведения синусов и косинусов данных углов, как и ранее, и складываем их. Формула: cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
5. Тангенс суммы. Эта формула выражается дробью, в числителе которой – сумма тангенсов искомых углов, а в знаменателе – единица, из которой вычитается произведение тангенсов искомых углов. Все понятно из ее графической записи: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Тангенс разности. Вычисляем значения разности и произведения тангенсов данных углов и поступаем с ними схожим образом. В знаменателе мы прибавляем к единице, а не наоборот: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Котангенс суммы. Для вычислений по этой формуле нам понадобятся произведение и сумма котангенсов данных углов, с которыми мы поступаем следующим образом: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Котангенс разности. Формула схожа с предыдущей, но в числителе и знаменателе – минус, а не плюс c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β .
Вы, наверное, заметили, что эти формулы попарно схожи. При помощи знаков ± (плюс-минус) и ∓ (минус-плюс) мы можем сгруппировать их для удобства записи:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Соответственно, мы имеем одну формулу записи для суммы и разности каждого значения, просто в одном случае мы обращаем внимание на верхний знак, в другом – на нижний.
Определение 2
Мы можем взять любые углы α и β , и формулы сложения для косинуса и синуса подойдут для них. Если мы можем правильно определить значения тангенсов и котангенсов этих углов, то формулы сложения для тангенса и котангенса будут также для них справедливы.
Как и большинство понятий в алгебре, формулы сложения могут быть доказаны. Первая формула, которую мы докажем, - формула косинуса разности. Из нее потом можно легко вывести остальные доказательства.
Уточним основные понятия. Нам понадобится единичная окружность. Она получится, если мы возьмем некую точку A и повернем вокруг центра (точки O) углы α и β . Тогда угол между векторами O A 1 → и O A → 2 будет равняться (α - β) + 2 π · z или 2 π - (α - β) + 2 π · z (z – любое целое число). Получившиеся вектора образуют угол, который равен α - β или 2 π - (α - β) , или он может отличаться от этих значений на целое число полных оборотов. Взгляните на рисунок:
Мы воспользовались формулами приведения и получили следующие результаты:
cos ((α - β) + 2 π · z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π · z) = cos (α - β)
Итог: косинус угла между векторами O A 1 → и O A 2 → равняется косинусу угла α - β , следовательно, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .
Вспомним определения синуса и косинуса: синус - функция угла, равная отношению катета противолежащего угла к гипотенузе, косинус – это синус дополнительного угла. Следовательно, точки A 1 и A 2 имеют координаты (cos α , sin α) и (cos β , sin β) .
Получим следующее:
O A 1 → = (cos α , sin α) и O A 2 → = (cos β , sin β)
Если непонятно, взгляните на координаты точек, расположенных в начале и конце векторов.
Длины векторов равны 1 , т.к. у нас единичная окружность.
Разберем теперь скалярное произведение векторов O A 1 → и O A 2 → . В координатах оно выглядит так:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Из этого мы можем вывести равенство:
cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
Таким образом, формула косинуса разности доказана.
Теперь мы докажем следующую формулу – косинуса суммы. Это проще, поскольку мы можем воспользоваться предыдущими расчетами. Возьмем представление α + β = α - (- β) . У нас есть:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α · cos (- β) + sin α · sin (- β) = = cos α · cos β + sin α · sin β
Это и есть доказательство формулы косинуса суммы. В последней строчке использовано свойство синуса и косинуса противоположных углов.
Формулу синуса суммы можно вывести из формулы косинуса разности. Возьмем для этого формулу приведения:
вида sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Так
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) · cos β + sin (π 2 - α) · sin β = = sin α · cos β + cos α · sin β
А вот доказательство формулы синуса разности:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α · cos (- β) + cos α · sin (- β) = = sin α · cos β - cos α · sin β
Обратите внимание на использование свойств синуса и косинуса противоположных углов в последнем вычислении.
Далее нам нужны доказательства формул сложения для тангенса и котангенса. Вспомним основные определения (тангенс – отношение синуса к косинусу, а котангенс –наоборот) и возьмем уже выведенные заранее формулы. У нас получилось:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β - sin α · sin β
У нас получилась сложная дробь. Далее нам нужно разделить ее числитель и знаменатель на cos α · cos β , учитывая что cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0 , получаем:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Теперь сокращаем дроби и получаем формулу следующего вида: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β .
У нас получилось t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Это и есть доказательство формулы сложения тангенса.
Следующая формула, которую мы будем доказывать – формула тангенса разности. Все наглядно показано в вычислениях:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α · t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
Формулы для котангенса доказываются схожим образом:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Далее:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α · c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β
В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.
Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.
Навигация по странице.
Связь между синусом и косинусом одного угла
Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве
вида 
. Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства 
и 
следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.
То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.
Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.
Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и 
сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, 
, а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, 
.
Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.
В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z
- любое .
Связь между тангенсом и котангенсом
Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.
Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда 
. Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то 
.
Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол - меньший 90 градусов.
Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , .
2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Найдем по теореме Пифагора.
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы .
Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье.
Косинус суммы и разности двух углов
В этом параграфе будут доказаны следующие две формулы:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Косинус суммы (разности) двух углов равен произведению косинусов этих углов минус (плюс) произведение синусов этих углов.
Нам удобнее будет начать с доказательства формулы (2). Для простоты изложения предположим сначала, что углы α и β удовлетворяют следующим условиям:
1) каждый из этих углов неотрицателен и меньше 2π :
0 < α < 2π, 0 < β < 2π;
2) α > β .
Пусть положительная часть оси 0х является общей начальной стороной углов α и β .
Конечные стороны этих углов обозначим соответственно через 0А и 0В. Очевидно, что угол α - β можно рассматривать как такой угол, на который нужно повернуть луч 0В вокруг точки 0 против часовой стрелки, чтобы его направление совпало с направлением луча 0А.
На лучах 0А и 0В отметим точки М и N, отстоящие от начала координат 0 на расстоянии 1, так что 0М = 0N = 1.
В системе координат х0у точка М имеет координаты (cos α, sin α ), а точка N - координаты (cos β , sin β ). Поэтому квадрат расстояния между ними равен:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
При вычислениях мы воспользовались тождеством
sin 2 φ + cos 2 φ = 1 .
Теперь рассмотрим другую систему координат В0С, которая получается путем поворота осей 0х и 0у вокруг точки 0 против часовой стрелки на угол β .
В этой системе координат точка М имеет координаты (cos (α - β ), sin (α - β )), а точка N -координаты (1,0). Поэтому квадрат расстояния между ними равен:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) = 2 .
Но расстояние между точками М и N не зависит от того, относительно какой системы координат мы рассматриваем эти точки. Поэтому
d 1 2 = d 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
Отсюда и вытекает формула (2).
Теперь следует вспомнить о тех двух ограничениях, которые мы наложили для простоты изложения на углы α и β .
Требование, чтобы каждый из углов α и β был неотрицательным, на самом деле не существенно. Ведь к любому из этих углов можно прибавить угол, кратный 2я, что никак не отразится на справедливости формулы (2). Точно так же от каждого из данных углов можно вычесть угол, кратный 2π . Поэтому можно считать, что 0 < α < 2π , 0 < β < 2π .
Не существенным оказывается и условие α > β . Действительно, если α < β , то β >α ; поэтому, учитывая четность функции cos х , получаем:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
что по существу совпадает с формулой (2). Таким образом, формула
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
верна для любых углов α и β . В частности, заменяя в ней β на -β и учитывая, что функция cos х является четной, а функция sin х нечетной, получаем:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] =cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
что доказывает формулу (1).
Итак, формулы (1) и (2) доказаны.
Примеры.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Упражнения
1 . Вычислить, не пользуясь тригонометрическими таблицами:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
б) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
в) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
г) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
д) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Упростить выражения:
a). cos (α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .
б). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) sin (α - 24°).
в). sin (π / 4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
г) cos 2α + tg α sin 2α .
3 . Вычислить :
a) cos (α - β) , если
cos α = - 2 / 5 , sin β = - 5 / 13 ;
90° < α < 180°, 180° < β < 270°;
б) cos (α + π / 6), если cos α = 0,6;
3π / 2 < α < 2π.
4 . Найти cos (α + β) и cos (α - β) ,если известно, что sin α = 7 / 25 , cos β = - 5 / 13 и оба угла (α и β ) оканчиваются в одной и той же четверти.
5 .Вычислить:
а). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
б). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
в). cos [ arctg 1 / 2 + arccos (- 2) ]
Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .
Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .
1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;
Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:
\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .
Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .
Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .
Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.
ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .
Загрузка...
