Гиперболические функции встречаются в механике, электротехнике и других технических дисциплинах. Многие формулы для гиперболических функций похожи на формулы для тригонометрических функций, кроме свойства ограниченности.
| № | Функция | Название | Производная  |
| 1. |  | гиперболический синус |  |
| 2. |  | гиперболический косинус |  |
| 3. |  | гиперболический тангенс |  |
| 4. |  | гиперболический котангенс |  |
Формулы для гиперболических функций
1. 
.
Доказательство. Рассмотрим искомую разность
. .
Доказательство. Рассмотрим произведение
.
Рассмотрим произведение 
.
Сложим два произведения и приведем подобные:
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
Ещё много других свойств гиперболических функций похожих на свойства тригонометрических функций, которые доказываются аналогично.
Докажем формулы для производных гиперболических функций.
1. Рассмотрим гиперболический синус 
.
При нахождении производной константу выносим за знак производной. Далее применяем свойство о производной разности двух функций и . Находим производную функции по таблице производных: 
. Производную функции ищем как производную сложной функции 
.
Поэтому, производная 
.
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: 
.
2. Рассмотрим гиперболический косинус .
Полностью применяем предыдущий алгоритм, только вместо свойства о производной разности двух функций и применяем свойство о производной суммы двух этих функций. 
.
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: 
.
3. Рассмотрим гиперболический тангенс .
Находим производную по правилу отыскания производной дроби.
4. Производную гиперболического котангенса
можно найти как производную сложной функции 
.
Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: 
.
Дифференциал функции
Пусть функция 
– дифференцируема в точке , тогда её приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде
где – некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , которая является бесконечно малой при 
.
Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух бесконечно малых слагаемых 
и 
. Было показано, что второе слагаемое 
является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем т.е. (см. 8.1). Поэтому первое слагаемое 
является главной линейной частью приращения функции . В замечании 8.1. получена другая формула (8.1.1) для приращения функции , а именно: . (8.1.1)
Определение 8.3.Дифференциалом
функции в точке называется главная линейная частью её приращения, равная произведению производной 
в этой точке на произвольное приращение аргумента , и обозначается (или 
):
(8.4)
Дифференциал функции называют также дифференциалом первого порядка.
Под дифференциалом независимой переменной понимается любое, независящее от , число. Чаще всего, в качестве этого числа берётся приращение переменной , т.е. 
. Это согласуется с правилом(8.4) нахождения дифференциала функции
Рассмотрим функцию 
и найдем её дифференциал.
Т.к. производная 
. Таким образом, получили: 
и дифференциал функции можно находить по формуле
. (8.4.1)
Замечание 8.7.
Из формулу (8.4.1) следует, что. 
Таким образом, запись можно понимать не только как обозначение для производной 
, но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных.
8.7. Геометрический смысл дифференциала функции
Пусть к графику функции 
проведена (см. рис. 8.1) касательная . Точка 
находится на графике функции и имеет абсциссу – . Даем произвольное приращение , такое, чтобы точка 
не вышла из области определения функции .
Рисунок 8.1 Изображение графика функции
Точка имеет координаты 
. Отрезок 
. Точка лежит на касательной к графику функции и имеет абсциссу – . Из прямоугольного 
следует, что , где угол – угол между положительным направлением оси и касательной, проведенной к графику функции в точке . По определению дифференциала функции и геометрического смысла производной функции в точке , делаем вывод, что 
. Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции заключается в том, что дифференциал представляет собойприращение ординаты касательной к графику функции в точке .
Замечание 8.8.
Дифференциал и приращение для произвольной функции , вообще говоря, не равны между собой.В общем случае, разность между приращением и дифференциалом функции является бесконечно малой высшего порядка малости, чем приращение аргумента. Из определения 8.1следует, что 
, т.е. 
.
На рисунке 8.1точка лежит на графике функции и имеет координаты 
. Отрезок .
На рисунке 8.1 выполнено неравенство 
, т.е. 
. Но возможны случаи, когда справедливо противоположное неравенство 
. Это выполняется для линейной функции и для выпуклой вверх функции.
Ответ: Гиперболи́ческие фу́нкции - семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.
Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом. Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций. Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями Например, гиперболические синус и косинус определяются как 
Производные этих функций имеют вид 
Гиперболические функции задаются следующими формулами: 1)гиперболический синус: 
(в зарубежной литературе обозначается sinx); 2)гиперболический косинус: 
(в зарубежной литературе обозначается cosx); 3)гиперболический тангенс: 
(в зарубежной литературе обозначается tanx); 4)гиперболический котангенс: 
; 5)гиперболические секанс и косеканс: 
Геометрическое определение: Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы При этом аргумент t=2S , где S - площадь криволинейного треугольника OQR , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом. Связь с тригонометрическими функциями: Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента. Аналитические свойства: Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности.
Таблица производной.
Ответ:
Таблица производных (которые в основном нам нужны): 
46)Производная функции – заданной параметрически.
Ответ:
Пусть задана зависимость двух переменных x и y от параметра t, изменяющегося в пределах от Пусть функция имеет обратную: 
Тогда мы можем, взяв композицию функций 
получить зависимость y от x: 
Зависимость величины y от величины x, заданной параметрически, можно выразить через производные функций поскольку и, по формуле производной обратной функции, 
где - значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение x. Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между снова выраженной в виде параметрической зависимости: 
второе из этих соотношений - то же, что участвовало в параметрическом задании функции y(x) . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра t. Покажем это на следующем примере. Пример 4.22: Пусть зависимость между x и y задана параметрически следующими формулами: Найдём уравнение касательной к графику зависимости y(x) в точке Значения получаются, если взять t=1. Найдём производные x и y по параметру t: Поэтому 
При t=1 получаем значение производной это значение задаёт угловой коэффициент k искомой касательной. Координаты 
точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково: Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости мы можем отыскать вторую производную функции y по переменной x: 
Даны определения обратных гиперболических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные гиперболические функции - формулы сумм и разностей. Выражения через тригонометрические функции. Производные, интегралы, разложения в ряды.
Определения обратных гиперболических функций, их области определений и значений
arsh x - обратный гиперболический синус
Обратный гиперболический синус (ареасинус) , - это функция, обратная к гиперболическому синусу (x = sh y ) , имеющая область определения -∞ < x < +∞ и множество значений -∞ < y < +∞ .
Ареасинус строго возрастает на всей числовой оси.
arch x - обратный гиперболический косинус
Обратный гиперболический косинус (ареакосинус) , - это функция, обратная к гиперболическому косинусу (x = сh y ) , имеющая область определения 1 ≤ x < +∞ и множество значений 0 ≤ y < +∞ .
Ареакосинус строго возрастает на своей области определения.
Вторая ветвь ареакосинуса также определена при x ≥ 1
и расположена симметрично относительно оси абсцисс, - ∞ < y ≤ 0
:
.
Она строго убывает на области определения.
arth x - обратный гиперболический тангенс
Обратный гиперболический тангенс (ареатангенс) , - это функция, обратная к гиперболическому тангенсу (x = th y ) , имеющая область определения - 1 < x < 1 и множество значений -∞ < y < +∞ .
Ареатангенс строго возрастает на своей области определения.
arcth x - обратный гиперболический котангенс
Обратный гиперболический котангенс (ареакотангенс) , - это функция, обратная к гиперболическому котангенсу (x = cth y ) , имеющая область определения |x| > 1 и множество значений y ≠ 0 .
Ареакотангенс строго убывает на своей области определения.
График обратного гиперболического синуса (ареасинуса) y = arsh x
График обратного гиперболического косинуса (ареакосинуса) y = arch
x , x ≥ 1
Пунктиром показана вторая ветвь ареккосинуса.
График обратного гиперболического тангенса (ареатангенса) y = arth x , |x| < 1
График обратного гиперболического котангенса (ареакотангенса) y = arcth x , |x| > 1
Формулы с обратными гиперболическими функциями
Связь с тригонометрическими функциями
Arsh
iz = i Arcsin
z
;
Arch
z = i Arccos
z
;
Arcsin
iz = i Arsh
z
;
Arccos
z = - i Arch
z
;
Arth
iz = i Arctg
z
;
Arcth
iz = - i Arcctg
z
;
Arctg
iz = i Arth
z
;
Arcctg
iz = - i Arcth
z
;
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Четность
arsh(-x) = - arsh
x
;
arch(-x) ≠ ± arch
x
;
arth(-x) = - arth
x
;
arcth(-x) = - arcth
x
.
Функции arsh(x) , arth(x) , arcth(x) - нечетные. Функция arch(x) - не является четной или нечетной.
Формулы связи обратных гиперболических синусов через тангенсы и косинусов через котангенсы
;
;
;
.
Формулы суммы и разности
;
;
;
.
Производные обратных гиперболических функций
;
.
Интегралы от arsh x, arch x, arth x, arcth x
arsh x
Для вычисления интеграла от гиперболического арксинуса, делаем подстановку x = sh
t
и интегрируем по частям :
.
arch x
Аналогично, для гиперболического арккосинуса. Делаем подстановку x = ch
t
и интегрируем по частям учитывая, что t ≥ 0
:
.
arth x
Делаем подстановку x = th
t
и интегрируем по частям :
;
;
;
.
arcth x
Аналогично получаем:
.
Разложения в ряды
arsh x
При |x| < 1
arth x
При |x| < 1
имеет место следующее разложение:
arcth x
При |x| > 1
имеет место следующее разложение:
Обратные функции
Гиперболический синус
При - ∞ < y < ∞
и - ∞ < x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Гиперболический косинус
При 1
≤ y < ∞
и 0
≤ x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Гиперболический тангенс
При - 1
< y < 1
и - ∞ < x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Гиперболический котангенс
При - ∞ < y < - 1
или 1
< y < ∞
и x ≠ 0
имеют место формулы:
,
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Справочные данные по гиперболическим функциям. Определения, графики и свойства гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Формулы сумм, разностей и произведений. Производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через тригонометрические функции.
Определения гиперболических функций, их области определений и значений
sh x - гиперболический синус
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - гиперболический косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y < +∞ .
th x - гиперболический тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - гиперболический котангенс
X ≠ 0 ; y < -1 или y > +1 .
Графики гиперболических функций
График гиперболического синуса y = sh x
График гиперболического косинуса y = ch x
График гиперболического тангенса y = th x
График гиперболического котангенса y = cth x
Формулы с гиперболическими функциями
Связь с тригонометрическими функциями
sin
iz = i sh
z ; cos
iz = ch
z
sh
iz = i sin
z ; ch
iz = cos
z
tg
iz = i th
z ; ctg
iz = - i cth
z
th
iz = i tg
z ; cth
iz = - i ctg
z
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.
Четность
sh(-x) = - sh x
;
ch(-x) = ch x
.
th(-x) = - th x
;
cth(-x) = - cth x
.
Функция ch(x) - четная. Функции sh(x) , th(x) , cth(x) - нечетные.
Разность квадратов
ch 2 x - sh 2 x = 1 .
Формулы суммы и разности аргументов
sh(x ± y) = sh
x ch
y ± ch
x sh
y
,
ch(x ± y) = ch
x ch
y ± sh
x sh
y
,
,
,
sh 2
x = 2 sh
x ch
x
,
ch 2
x = ch 2
x + sh 2
x
= 2 ch 2
x - 1 = 1 + 2 sh 2
x
,
.
Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса
,
,
,
,
,
.
Формулы суммы и разности гиперболических функций
,
,
,
,
.
Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом
,
,
,
.
Производные
,
Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Разложения в ряды
sh x
ch x
th x
cth x
Обратные функции
Ареасинус
При - ∞ < x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Ареакосинус
При 1
≤ x < ∞
и 0
≤ y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Вторая ветвь ареакосинуса расположена при 1
≤ x < ∞
и - ∞ < y ≤ 0
:
.
Ареатангенс
При - 1
< x < 1
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Ареакотангенс
При - ∞ < x < - 1
или 1
< x < ∞
и y ≠ 0
имеют место формулы:
,
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Загрузка...
