Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве допускает три случая. Прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке. Они могут быть параллельны. Наконец, прямая может лежать в плоскости. Выяснение конкретной ситуации для прямой и плоскости зависит от способа их описания.
Предположим, что плоскость π задана общим уравнением π: Ax + By + Cz + D = 0, а прямая L - каноническими уравнениями (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n. Уравнения прямой дают координаты точки M 0 (x 0 ; у 0 ; z 0) на прямой и координаты направляющего вектора s = {l; m; n} этой прямой, а уравнение плоскости - координаты ее нормального вектора n = {A; B; C}.
Если прямая L и плоскость π пересекаются, то направляющий вектор s прямой не параллелен плоскости π. Значит, нормальный вектор n плоскости не ортогонален вектору s, т.е. их скалярное произведение не равно нулю. Через коэффициенты уравнений прямой и плоскости это условие записывается в виде неравенства A1 + Bm + Cn ≠ 0.
Если прямая и плоскость параллельны или прямая лежит в плоскости, то выполняется условие s ⊥ n, которое в координатах сводится к равенству Al + Bm + Cn = 0. Чтобы разделить случаи "параллельны" и "прямая принадлежит плоскости ", нужно проверить, принадлежит ли точка прямой данной плоскости.
Таким образом, все три случая взаимного расположения прямой и плоскости разделяются путем проверки соответствующих условий:
Если прямая L задана своими общими уравнениями:
то проанализировать взаимное расположение прямой и плоскости π можно следующим образом. Из общих уравнений прямой и общего уравнения плоскости составим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Если эта система не имеет решений, то прямая параллельна плоскости. Если она имеет единственное решение, то прямая и плоскость пересекаются в единственной точке. Последнее равносильно тому, что определитель системы (6.6)
отличен от нуля. Наконец, если система (6.6) имеет бесконечно много решений, то прямая принадлежит плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Угол φ между прямой L: (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n и плоскостью π: Ax + By + Cz + D = 0 находится в пределах от 0° (в случае параллельности) до 90° (в случае перпендикулярности прямой и плоскости). Синус этого угла равен |cosψ|, где ψ - угол между направляющим вектором прямой s и нормальным вектором n плоскости (рис. 6.4). Вычислив косинус угла между двумя векторами через их координаты (см. (2.16)), получим
Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно тому, что нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой коллинеарны. Через координаты векторов это условие записывается в виде двойного равенства
БИЛЕТ 16.
Свойства пирамиды, у которой двугранные углы равны.
А)Если боковые грани пирамиды с её основанием образуют равные двугранные углы, то все высоты боковых граней пирамиды равны (у правильной пирамиды это апофемы), и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания.
Б) У пирамиды могут быть равные двугранные углы при основании тогда, когда в многоугольник основания можно вписать окружность.
Призма. Определение. Элементы. Виды призм.
Призма- это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами.
Грани, которые находятся в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями призмы.
В зависимости от основания призмы бывают:
1) треугольными
2) четырёхугольными
3) шестиугольными
Призма с боковыми рёбрами, перпендикулярными её основаниям, называется прямой призмой.
Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.
БИЛЕТ 17.
Свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.
В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.
Проведя диагональ основания АС, получим треугольники АС 1 С и АСВ. Оба они прямоугольные: первый потому, что параллелепипед прямой и, следовательно, ребро СС 1 перпендикулярно к основанию; второй потому, что параллелепипед прямоугольный и, значит, в основании его лежит прямоугольник. Из этих треугольников находим:
АС 1 2 = АС 2 + СС 1 2 и АС 2 = АВ 2 + ВС 2
Следовательно, AC 1 2 = АВ 2 + ВС 2 + СС 1 2 = АВ 2 + AD 2 + АА 1 2 .
Случаи взаимного расположения двух плоскостей.
СВОЙСТВО 1 :
Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
СВОЙСТВО 2:
Отрезки параллельных прямых, заключённых между двумя параллельными плоскостями, равны по длине.
СВОЙСТВО 3
Через каждую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную этой плоскости, и притом только одну.
БИЛЕТ 18.
Свойство противоположных граней параллелепипеда.
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Например, плоскости параллелограммов АА 1 В 1 В и DD 1 C 1 C параллельны, так как пересекающиеся прямые АВ и АА 1 плоскости АА 1 В 1 соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DC и DD 1 плоскости DD 1 C 1 . Параллелограммы АА 1 В 1 В и DD 1 C 1 C равны (т. е. их можно совместить наложением), так как равны стороны АВ и DС, АА 1 и DD 1 , и равны углы А 1 АВ и D 1 DC.
Площади поверхностей призмы, пирамиды, правильной пирамиды.
Правильная пирамида: Sполн.пов. =3SASB+Sосн. 
Взаимное расположение двух прямых
Следующие утверждения выражают необходимые и достаточные признаки взаимного расположения двух прямых в пространстве, заданных каноническими уравнениями
а ) Прямые скрещиваются, т.е. не лежат на одной плоскости.
б ) Прямые пересекаются.
Но векторы и неколлинеарны (иначе их координаты пропорциональны).
в ) Прямые параллельны.
Векторы и коллинеарны, но вектор им неколлинеарен.
г ) Прямые совпадают.
Все три вектора: , коллинеарны.
Доказательство. Докажем достаточность указанных признаков
а ) Рассмотрим вектор и направляющие векторы данных прямых
то эти векторы некомпланарны, следовательно, данные прямые не лежат на одной плоскости.
б ) Если, то векторы компланарны, следовательно, данные прямые лежат в одной плоскости, а так как в случае (б ) направляющие векторы и этих прямых предполагаются неколлинеарными, то прямые пересекаются.
в ) Если направляющие векторы и данных прямых коллинеарны, то прямые или параллельные, или совпадают. В случае (в ) прямые параллельны, т.к. по условию вектор, начало которого находится в точке первой прямой, а конец – в точке второй прямой не коллинеарен и.
г) Если все векторы и коллинеарны, то прямые совпадают.
Необходимость признаков доказывается методом от противного.
Клетеник № 1007
Следующие утверждения дают необходимые и достаточные условия взаимного расположения прямой, заданной каноническими уравнениями
и плоскости, заданной общим уравнением
относительно общей декартовой системы координат.
Плоскость и прямая пересекаются:
Плоскость и прямая параллельны:
Прямая лежит на плоскости:
Докажем сначала достаточность указанных признаков. Запишем уравнения данной прямой в параметрическом виде:
Подставляя в уравнение (2 (плоскости)) координаты произвольной точки данной прямой, взятые из формул (3), будем иметь:
1. Если, то уравнение (4) имеет относительно t единственное решение:
а значит, данная прямая и данная плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются.
2. Если, то уравнение (4) не удовлетворяется ни при каком значение t , т.е. на данной прямой нет ни одной точки, лежащей на данной плоскости, следовательно, данные прямая и плоскость параллельны.
3. Если, то уравнение (4) удовлетворяется при любом значении t , т.е. все точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит, данная прямая лежит на данной плоскости.
Выведенные нами достаточные условия взаимного расположения прямой и плоскости являются и необходимыми и доказываются сразу методом от противного.
Из доказанного следует необходимое и достаточное условие того, что вектор компланарен плоскости, заданной общим уравнением относительно общей декартовой системы координат.
Взаимное положение прямой и плоскости определяется количествомобщих точек:
1) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости,
2) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость,
3) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в бесконечность, то прямая и плоскость параллельны.
Задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга, называются позиционными задачами.
Прямая принадлежащая плоскости рассматривалась ранее.
Прямая параллельна плоскости , если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, необходимо в плоскости задать любую прямую и параллельно ей провести требуемую.
Рис. 1.53 Рис. 1.54 Рис.1.55
Пусть через точку А (рис. 1.53) необходимо провести прямую АВ , параллельную плоскости Q , заданную треугольником CDF. Для этого через фронтальную проекцию точки а / точки А проведем фронтальную проекцию а / в / искомой прямой параллельно фронтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Р, например, прямой CD (а / в / !! с / д / ). Через горизонтальную проекцию а точки А параллельно сд проводим горизонтальную проекцию ав искомой прямой АВ (ав11 сд). Прямая АВ параллельна плоскости Р, заданной треугольником CDF.
Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна плоскости. Рассмотрим свойства проекций такой прямой.
Рис. 1.56 Рис. 1.57
Прямая перпендикулярна плоскости (частный случай пересечения прямой с плоскостью) если она перпендикулярна какой-либо прямой, лежащей в плоскости. Для построения проекций перпендикуляра к плоскости, находящейся в общем положении, этого недостаточно без преобразования проекций. Поэтому вводят дополнительное условие: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся главным линиям (для построения проекций используется условие проецирования прямого угла). В этом случае: горизонтальная и фронтальная проекции перпендикуляра перпендикулярны соответственно горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали данной плоскости общего положения (рис. 1.54). При задании плоскости следами проекции перпендикуляра перпендикулярны соответственно фронтальная – фронтальному следу, горизонтальная – горизонтальному следу плоскости (рис. 1.55).
Пересечение прямой с проецирующей плоскостью. Рассмотрим прямую, пересекающую плоскость , когда плоскость находится в частном положении.
Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций (проецирующая плоскость), проецируется на нее в виде прямой линии. На этой прямой (проекции плоскости) должна находиться соответствующая проекция точки, в которой некоторая прямая пересекает эту плоскость (рис.1.56).
На рисунке 1.56 фронтальная проекция точки К пересечения прямой АВ с треугольником СDE определяется в пересечении их фронтальных проекций, т.к. треугольник СDE проецируется на фронтальную плоскость в виде прямой линии. Находим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью (она лежит на горизонтальной проекции прямой). Способом конкурирующих точек, определяем видимость прямой АВ относительно плоскости треугольника СDE на горизонтальной плоскости проекций.
На рисунке 1.59 изображена горизонтально-проецирующая плоскость P и прямая общего положения АВ . Т.к. плоскость Р перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то все, что в ней находится, на горизонтальную плоскость проекций проецируется на ее след, в том числе и точка ее пересечения с прямой АВ . Следовательно, на комплексном чертеже имеем горизонтальную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью Р . По принадлежности точки прямой, находим фронтальную проекцию точки пересечения прямой АВ с плоскость Р . Определяем видимость прямой на фронтальной плоскости проекций.
Рис. 1.58 Рис. 1.59
На рисунке 1.58 дан комплексный чертеж построения проекций точки пересечения прямой АВ с плоскостью горизонтального уровня G . Фронтальный след плоскости G является ее фронтальной проекцией. Фронтальная проекция точки пересечения плоскости G с прямой АВ определятся в пересечении фронтальной проекции прямой и фронтального следа плоскости. Имея фронтальную проекцию точки пересечения, находим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой АВ с плоскостью G .
На рисунке 1.57 изображена плоскость общего положения, заданная треугольником CDE и фронтально-проецирующая прямая АВ ? пересекающая плоскость в точке K. Фронтальная проекция точки – k / совпадает с точками a / и b / . Для построения горизонтальной проекции точки пересечения проведем через точку K в плоскости CDE прямую (например, 1-2 ). Построим ее фронтальную проекцию, а затем горизонтальную. Точка K является точкой пересечения прямых AB и 1-2. То есть точка K одновременно принадлежит прямой AB и плоскости треугольника и, следовательно, является точкой их пересечения.
Пересечение двух плоскостей. Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.
Пересечение проецирующих плоскостей. Две плоскости могут быть параллельны между собой или пересекаться. Рассмотрим случаи взаимного пересечения плоскостей.
Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей, вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим плоскостям, следовательно, необходимо и достаточно найти эти две точки, принадлежащей линии пересечения двух заданных плоскостей.
Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Эти точки и определяют линию пересечения плоскостей. Для нахождения каждой из этих двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна (или параллельна) к какой-либо плоскости проекций, то построение проекции линии их пересечения упрощается.
Рис. 1.60 Рис. 1.61
Если плоскости, заданны следами, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей попарно: прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т.е. их линией пересечения.
Рассмотрим частные случаи расположения одной (или обеих) из пересекающихся плоскостей.
На комплексном чертеже (рис.1.60) изображены горизонтально-проецирующие плоскости P и Q. Тогда горизонтальная проекция их линии пересечения вырождается в точку, а фронтальная проекция – в прямую, перпендикулярную оси оx.
На комплексном чертеже (рис. 1.61) изображены плоскости частного положения: плоскость Р перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (горизонтально-проецирующая плоскость) и плоскость Q - плоскость горизонтального уровня. В этом случая, горизонтальная проекция их линии пересечения совпадет с горизонтальным следом плоскости Р , а фронтальная – с фронтальным следом плоскости Q .
В случае задания плоскостей следами легко установить, что эти плоскости пересекаются: если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то плоскости пересекаются между собой.
Изложенное относится к плоскостям, заданных пересекающимися следами. Если же обе плоскости имеют на горизонтальной и фронтальной плоскостях следы, параллельные друг другу, то эти плоскости могут быть параллельны либо пересекаться. О взаимном положении таких плоскостей можно судить, построив третью проекцию (третий след). Если следы обеих плоскостей на третьей проекции так же параллельны, то плоскости параллельны между собой. Если следы на третьей плоскости пересекаются, то заданные в пространстве плоскости пересекаются.
На комплексном чертеже (рис.1.62) изображены фронтально-проецирующие плоскости, заданные треугольником АВС и DEF . Проекция линии пересечения на фронтальной плоскости проекций – точка, т.е. так как треугольники перпендикулярны фронтальной плоскости проекций, то и их линия пересечения так же перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Следовательно горизонтальная проекции линии пересечения треугольников (12 ) перпендикулярна оси оx. Видимость элементов треугольников на горизонтальной плоскости проекции определяется с помощью конкурирующих точек (3,4).
На комплексном чертеже (рис. 1.63) заданы две плоскости: одна из которых треугольником АВС общего положения, другая – треугольником DEF перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, т.е. находящийся в частном положении (фронтально-проецирующий). Фронтальная проекция линии пересечения треугольников (1 / 2 / ) находится исходя из общих точек, одновременно принадлежащих обоим треугольникам (все, что находится во фронтально- проецирующем треугольнике DEF на фронтальной проекции выльется в линию – проекцию его на фронтальную плоскость, в том числе и линия его пересечения с треугольником АВС. По принадлежности точек пересечения сторонам треугольника АВС , находим горизонтальную проекцию линии пересечения треугольников. Способом конкурирующих точек определяем видимость элементов треугольников на горизонтальной плоскости проекций.
Рис. 1.63 Рис. 1.64
На рисунке 1.64 дан комплексный чертеж двух плоскостей, заданных треугольником общего положения АВС и горизонтально-проецирующая плоскость Р , заданная следами. Так как плоскость Р – горизонтально- проецирующая, то все, что в ней находится, в том числе и линия ее пересечения с плоскостью треугольника АВС , на горизонтальной проекции совпадет с ее
горизонтальным следом. Фронтальную проекцию линии пересечения данных плоскостей находим из условия принадлежности точек элемента (сторонам) плоскости общего положения.
В случае задания плоскостей общего положения не следами, то для получения линии пересечения плоскостей последовательно находится точка встречи стороны одного треугольника с плоскостью другого треугольника. Если плоскости общего положения заданы не треугольниками, то линию ппересечения таких плоскостей можно найти путем введения поочередно двух вспомогательных секущих плоскостей – проецирующих (для задания плоскостей треугольниками) или уровня для всех других случаев.
Пересечение прямой общего положения с плоскость общего положения. Ранее были рассмотрены случаи пересечения плоскостей, когда одна из них являлась проецирующей. На основе этого мы можем найти точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, путем введения дополнительной проецирующей плоскости-посредника.
Прежде чем рассматривать пересечение плоскостей общего положения, рассмотрим пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения.
Для нахождения точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения необходимо:
1) прямую заключить во вспомогательную проецирующую плоскость,
2) найти линию пересечения заданной и вспомогательных плоскостей,
определить общую точку, принадлежащую одновременно двум плоскостям (это их линия пересечения) и прямой.
Рис. 1.65 Рис. 1.66
Рис. 1.67 Рис. 1.68
На комплексном чертеже (рис. 1.65) изображен треугольник СDE общего положения и прямая АВ общего положения. Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью, заключим прямую АВ Q . Найдем линию пересечения (12 ) плоскости- посредника Q и заданной плоскости СDE . При построении горизонтально проекции линии пересечения найдется общая точка К , одновременно принадлежащая двум плоскостям и заданной прямой АВ . Из принадлежности точки прямой находим фронтальную проекцию точки пересечения прямой с заданной плоскостью. Видимость элементов прямой на плоскостях проекций, определяем с помощью конкурирующих точек.
На рисунке 1.66 показан пример нахождения точки встречи прямой АВ , являющейся горизонталью (прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций) и плоскости Р , общего положения, заданной следами. Для нахождения точки их пересечения, прямая АВ заключается в горизонтально- проецирующую плоскость Q. Далее поступают, как и в выше изложенном примере.
Для нахождения точки встречи горизонтально-проецирующей прямой АВ с плоскостью общего положения (рис. 1.67), через точку встречи прямой с плоскостью (ее горизонтальная проекция совпадает с горизонтальной проекцией самой прямой) проводим горизонталь (т.е. привязываем точку пересечения прямой с плоскостью в плоскость Р ). Найдя фронтальную проекцию проведенной горизонтали в плоскости Р , отмечаем фронтальную проекцию точки встречи прямой АВ с плоскостью Р.
Для нахождения линии пересечения плоскостей общего положения, заданных следами достаточно отметить две общие точки, одновременно принадлежащие обеим плоскостям. Такими точками являются точки пересечения их следов (рис.1.68).
Для нахождения линии пересечения плоскостей общего положения, заданных двумя треугольниками (рис. 1.69), последовательно находим точку
встречи стороны одного треугольника с плоскостью другого треугольника. Взяв любые две стороны из любого треугольника, заключив их в проецирующие плоскости посредники, находятся две точки, одновременно принадлежащие обоим треугольникам – линия их пересечения.
На рисунке 1.69 дан комплексный чертеж треугольников ABC и DEF общего положения. Для нахождения линии пересечения данных плоскостей:
1. Заключаем сторону ВС треугольника АВС во фронтально- проецирующую плоскость S (выбор плоскостей совершенно произвольный).
2. Находим линию пересечения плоскости S и плоскости DEF – 12 .
3. Отмечаем горизонтальную проекцию точки встречи (общая точка двух треугольников) К из пересечения 12 и ВС и находим ее фронтальную проекцию на фронтальной проекции прямой ВС.
4. Проводим вторую вспомогательную проецирующую плоскость Q через сторону DF треугольника DEF .
5. Находим линию пересечения плоскости Q и треугольника АВС – 3 4.
6. Отмечаем горизонтальную проекцию точки L , являющейся точкой встречи стороны DF c плоскостью треугольника АВС и находим ее фронтальную проекцию.
7. Соединяем одноименные проекции точек К и L. К L – линя пересечения плоскостей общего положения, заданных треугольниками АВС и DEF .
8. Способом конкурирующих точек определяем видимость элементов треугольников на плоскостях проекций.
Так как выше изложенное действительно и для главных линий параллельных плоскостей, то можно сказать, что плоскости параллельны, если параллельны их одноименные следы (рис. 1.71).
На рисунке 1.72 показано построение плоскости параллельной заданной и проходящей через точку А. В первом случае через точку А проведена прямая (фронталь), параллельная заданной плоскости G . Тем самым проведена плоскость Р содержащая прямую параллельную заданной плоскости G и параллельная ей. Во втором случае через точку А проведена плоскость, заданная главными линиями из условия параллельности этих линий заданной плоскости G .
Взаимно-перпендикулярные плоскости. Если одна плоскость содержит
хотя бы одну прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие
плоскости перпендикулярны. На рисунке 1.73 показаны взаимно перпендикулярные плоскости. На рисунке 1.74 показано построение плоскости, перпендикулярной заданной через точку А, используя условие перпендикулярности прямой (в данном случае главных линий) плоскости.
В первом случае через точку А проведена фронталь, перпендикулярная плоскости Р , построен ее горизонтальный след и через него проведен горизонтальный след плоскости Q , перпендикулярно горизонтальному следу плоскости Р . Через полученную точку схода следов Q X проведен фронтальный след плоскости Q перпендикулярно фронтальному следу плоскости Р .
Во втором случае в плоскости треугольника проведены горизонталь ВЕ и фронталь BF и через заданную точку А задаем плоскость пересекающимися прямыми (главными линиями), перпендикулярную плоскости треугольника. Для этого проводим через точку А горизонталь и фронталь. Горизонтальную проекцию горизонтали искомой плоскости (N ) проводим перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали треугольника, фронтальную проекцию фронтали новой плоскости (M ) – перпендикулярно фронтальной проекции фронтали треугольника.
Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.
Прямая на плоскости – понятие
Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.
Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.
Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.
Имеем аксиому:
Определение 1
На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.
Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d .
Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.
Чтобы обозначить, принадлежит точка плоскости или точка прямой, используют знак « ∈ ». Если в условии дано, что точка A лежит на прямой a , тогда это имеет такую форму записи A ∈ a . В случае, когда точка А не принадлежит, тогда другая запись A ∉ a .
Справедливо суждение:
Определение 2
Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.
Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В, то прямую, проходящую через них можно назвать данными буквами, например, прямая А В. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:
Определение 3
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.
Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.
Если дано, что точки А и Р – концы отрезка, значит, его обозначение примет вид Р А или А Р. Так как обозначения отрезка и прямой совпадают, рекомендовано дописывать или договаривать слова «отрезок», «прямая».
Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉ . Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂ . Если в условии дано, что отрезок А Р принадлежит прямой b , значит, и запись будет выглядеть следующим образом: А Р ⊂ b .
Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А, В, С, которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С, следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .
Точка делит прямую на две части, называемые лучами.Имеем аксиому:
Определение 4
Любая точка O , находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O , а другие – по другую сторону луча.
Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.
Определение 5
совпадать .
Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.
Определение 6
Две прямые на плоскости могут пересекаться .
Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩ . Если имеется форма записи a ∩ b = M , то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M .
При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными.Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a ⊥ b , а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b .
Определение 7
Две прямые на плоскости могут быть параллельны .
Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b: a ∥ b .
Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.
Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.
Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.
Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:
- если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
- если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
- если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.
Рассмотрим это на рисунках.
Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.
Определение 8
Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.
Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки. 
Определение 9
Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.
Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.
Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.
Определение 10
Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.
Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.
Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:
Определение 11
Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.
И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Загрузка...
