Принцип Ферма – одна из наиболее важных теорем геометрической оптики. Несмотря на то, что он не используется непосредственно при расчете оптической системы (как, например, ), этот принцип используется для получения результатов, которые будет невозможно или очень сложно получить другим образом.
Этот принцип можно сформулировать следующим образом.
На рисунке 1.4 показан физически возможный путь лучей от точки до точки . Пусть длины отрезков вдоль луча будут равны .
Рисунок 1.4 – Оптическая длина пути.
Определим оптическую длину пути в любой среде как произведение пройденного лучом расстояния и коэффициента преломления:
(1.7)
где квадратные скобки использованы для того, чтобы различить оптическую длину пути от геометрического расстояния.
Принцип Ферма гласит, что оптическая длина пути, вдоль физически возможного пути луча – величина постоянная. Например, в простом случае плоской преломляющей поверхности (рисунок 1.5).
Рисунок 1 .5. Пример принципа Ферма.
У нас здесь есть луч, проходящий через две точки и . Предполагается, что преломляющая поверхность пересекается лучом в точке . По принципу Ферма, если мы запишем выражение для оптической длины пути как функцию от , а затем продифференцируем по относительно , то точка где дифференциал будет равен нулю совпадет с точкой . Это значит, что луч выбрал для своего пути кротчайшее расстояние.
Принцип Ферма
При́нцип Ферма́ (принцип наименьшего времени Ферма ) в геометрической оптике - постулат, предписывающий лучу света двигаться из начальной точки в конечную точку по пути, минимизирующему (реже - максимизирующему) время движения (или, что то же самое, минимизирующему оптическую длину пути). В более точной формулировке : свет выбирает один путь из множества близлежащих, требующих почти одинакового времени для прохождения; другими словами, любое малое изменение этого пути не приводит в первом порядке к изменению времени прохождения.
Этот принцип, сформулированный в I в. Героном Александрийским для отражения света, в общем виде был сформулирован Пьером Ферма в 1662 году в качестве самого общего закона геометрической оптики. В разнообразных конкретных случаях из него следовали уже известные законы: прямолинейность луча света в однородной среде, законы отражения и преломления света на границе двух прозрачных сред.
Принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса-Френеля в волновой оптике для случая исчезающей малой длины волны света.
Принцип Ферма является одним из экстремальных принципов в физике .
Примечания
Литература
- Краткий словарь физических терминов / Сост. А. И. Болсун, рец. М. А. Ельяшевич. - Мн. : Вышэйшая школа, 1979. - С. 364-365. - 416 с. - 30 000 экз.
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Экстремальный принцип
- Ифкуиль
Смотреть что такое "Принцип Ферма" в других словарях:
принцип Ферма - — Тематики нефтегазовая промышленность EN Fermat s lawFermat s principle … Справочник технического переводчика
принцип Ферма - Ferma principas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Fermat’s law; Fermat’s principle vok. Fermatsches Prinzip, n rus. принцип Ферма, m pranc. principe de Fermat, m … Fizikos terminų žodynas
Ферма принцип - Принцип Ферма на примере эллиптических поверхностях Объяснение закона Снелла при помощи принципа Ферма. Принцип Ферма (принцип наименьшего времени Ферма) в геометрической оптике постулат, предписывающий лучу света двигаться из начальной точки в… … Википедия
Ферма Пьер - (Fermat) (1601 1665), французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). Труды по теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике (принцип Ферма). * * * ФЕРМА Пьер ФЕРМА (Fermat) Пьер (1601 … Энциклопедический словарь
ФЕРМА ПРИНЦИП - ФЕРМА ПРИНЦИП: действительный путь распространения света из одной точки в другую есть тот путь, для прохождения которого свету требуется минимальное (или максимальное) время по сравнению с любым др. геометрически возможным путем между теми же… … Энциклопедический словарь
ФЕРМА - ФЕРМА (Fermat) Пьер де (1601 65), французский математик. Вместе с Блезом ПАСКАЛЕМ сформулировал теорию вероятности и, доказав, что свет перемещается по самой короткой оптической траектории (принцип Ферма), стал основателем геометрической оптики … Научно-технический энциклопедический словарь
Ферма принцип{:} - действительный путь распространения света из одной точки в другую есть тот путь, для прохождения которого свету требуется минимальное (или максимальное) время по сравнению с любым другим геометрически возможным путём между теми же точками.… … Энциклопедический словарь
ФЕРМА (Fermat) Пьер - (1601 65) французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). Труды по теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике (принцип Ферма) … Большой Энциклопедический словарь
Основу геометрической оптики образуют четыре закона: 1) закон прямолинейного распространения света; 2) закон независимости световых лучей; 3) закон отражения света; 4) закон преломления света.
Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может служить известный опыт по прохождению света далекого источника сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны.
Луч света распространяется прямолинейно, если на пути его распространения среда однородна, абсолютный показатель преломления среды везде одинаков. Однако, если показатель преломления среды плавно изменяется на трассе луча, траектория луча света искривляется (рис.1.2), причём луч смещается в сторону увеличения показателя преломления.
Рассмотрим ход лучей (рисунок 1.3), идущих от точки С (С- это точка, лежащая на Солнце, которое почти спряталось за горизонт). Луч искривляется, так как каждый последующий слой атмосферы имеет больший показатель преломления и в каждом последующем слое луч света приближается к перпендикуляру восстановленному в точку падения. Наблюдатель, находящийся в точке А, видит изображение Солнца в точке С 1 . Зашедшее Солнце за счет преломления остается видимым еще несколько минут, поэтому продолжительность дня оказывается на 7-8 минут больше, чем она была бы в отсутствии преломления. Сплюснутая форма Солнца при восходе и заходе объясняется, тем, что лучи, идущие от разных частей Солнца отклоняются от прямой линии на разные углы.
Рис.1.4
|
| Рис.7 |
Миражи связаны с тем, что абсолютный показатель преломления в разных атмосферных слоях оказывается разным. Обычно наблюдается верхний или нижний мираж. Нижний мираж наблюдается в пустынях и в степях в теплое время года, когда прилегающий к земной поверхности слой воздуха сильно нагрет, а его плотность и показатель преломления быстро возрастают с высотой. На рисунке 1.4,а показано каким образом горячий песок позволяет видеть макушку дерева А. Луч света n преломляется при прохождении вниз от холодного к нагретому воздуху, следовательно, угол преломления будет возрастать, а линия, по которой свет распространяется, искривляется (рис.1.5. В точке В луч света испытает полное внутреннее отражение, преломленный луч исчезнет. Вся световая энергия сосредотачивается в отраженном луче, поэтому луч как бы изменил свое направление.
Рис.1.5
|
Поэтому, когда он попадает в глаз наблюдателя, то кажется, что он исходит из точки А ¢ , а не точки А.
Верхний мираж может наблюдаться близ воды. Так как около поверхности воды может находиться слой холодного воздуха, над которым расположен слой теплого воздуха.
В результате отдаленный корабль на море может казаться плавающим в небе, как показано на рисунке 1.4б., так как лучи света описывают большую дугу и возвращаются вниз за десятки километров от источника. С Лазурного берега иногда можно увидеть Корсику, расположенную за 200 километров оттуда. Жители бельгийского города Вервье в 1815 году увидели в небе целую армию. За сто километров от этого города в это утро произошла битва при Ватерлоо.
Закон независимости световых пучков утверждает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга. Пересечения лучей не мешает каждому из них распространяться независимо друг от друга.
Если две изотропные среды с разными показателями преломления соприкасаются друг с другом, то между ними образуется граница раздела этих сред. Луч света, попадая на эту границу, частично отражается, частично преломляется (см. рис.1.6)
Закон отражения света: падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения). Угол отражения γ равен углу падения α.
Закон преломления света: падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред и равна отношению абсолютного показателя преломления второй среды относительно показателя преломления первой среды:
(1.8)
Закон преломления был экспериментально установлен голландским ученым В. Снеллиусом (1621 г.)
Законы отражения и преломления находят объяснение в волновой физике. Согласно волновым представлениям, преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления – это отношение скорости распространения волн в первой среде υ 1 к скорости их распространения во второй среде υ 2:
Рис 1.6 иллюстрирует законы отражения и преломления света.
Принцип Ферма
В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма в середине 17 столетия. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения света, отражения и преломления света. В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.
Рис.1.7
|
Пусть луч распространяется из точки 1 в точку пространства 2 (рис.1.7). Разобьем траекторию распространения света на прямолинейные участки, на которых показатель преломления будет константой, тогда чтобы свету пройти путь требуется время
,
Следовательно, время, затрачиваемое светом на прохождение пути 1-2 равно
Величина имеет размерность длины и эту величину называют оптическим ходом луча или оптической длиной пути света
В однородной изотропной среде оптическая длина пути света равна
Пропорциональность времени t прохождения оптической длине пути луча L дает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого экстремальна. Из принципа Ферма вытекает обратимость хода световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света из точки 2 в точку 1.
С помощью принципа Ферма можно доказать законы геометрической оптики, например, закон преломления света.
Утверждающий в простейшей форме,
что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по
тому пути, вдоль к-рого время его прохождения меньше, чем вдоль любого из др.
путей, соединяющих эти точки. Время прохождения светом расстояния l
в
среде с показателем преломления п
пропорционально оптич. длине пути S
. Для однородной среды S=nl
, а для неоднородной Т.о.,
в этой форме Ф.п. есть принцип наименьшей
оптич. длины пути. В первонач. формулировке, данной П. Ферма (P. Fermat, ок.
1660), принцип имел смысл наиболее общего закона распространения света, из к-рого
следовали все (к тому времени уже известные) законы геом. оптики. Для однородной
среды Ф. п. приводит к закону прямолинейности светового луча (в соответствии
с положением о том, что прямая есть линия, вдоль к-рой расстояние между двумя
точками наименьшее), а для случая падения луча на границу раздела между средами
с разными п
из Ф.п. можно получить законы зеркального отражения света
и преломления света
.
В более строгой формулировке
Ф. п. представляет собой т.н. в а р и а ц и о н н ы й п р и н ц и п, утверждающий,
что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, вдоль
к-рой время его прохождения э к с т р е м а л ь н о или о д и н а к о в о по
сравнению с временами прохождения вдоль всех др. линий, соединяющих данные точки.
Это означает, что оптич. длина пути луча может быть не только минимальной, но
и максимальной либо равной всем остальным возможным путям между двумя точками.
Условие экстремальности оптич. длины пути сводится к требованию, чтобы была
равна нулю вариация от интеграла 
где
А
и В
-точки, между к-рыми распространяется свет. Примеры мин.
пути - упомянутые распространение света в однородной среде и прохождение им
границы раздела двух сред с разными п
. Все три случая (минимальности,
максимальности и стационарности пути) можно проиллюстрировать, рассматривая
отражение луча света от вогнутого зеркала (рис.). Если зеркало имеет форму эллипсоида
вращения, а свет распространяется
от одного его фокуса Р
к другому Q
(причём путь без
отражения невозможен), то оптич. длина пути луча РО" +
O"Q
по
свойствам эллипсоида равна всем остальным возмож
ным, напр. РО"" + O""Q;
если на пути между
теми же точками свет отражается от зеркала меньшей, чем у эллипсоида, кривизны
(ММ)
, реализуется мин. путь, если же большей (зеркало NN
) - максимальный.
В волновой оптике Ф. п. представляет собой предельный случай Гюйгенса - Френеля принципа и применим, если можно пренебречь дифракцией света (когда длина световой волны мала по сравнению с наименьшими характерными для задачи размерами): рассматривая лучи как нормали к волновым поверхностям, легко показать, что при всяком распространении света оптич. длины будут иметь экстремальные значения. Во всех случаях, когда необходимо учитывать
Возьмите литровую банку и монету. Положите монету под дно пустой банки. Она видна как сверху, так и через боковую стенку банки. Теперь налейте в банку воду. Монета видна сверху, но не видна через боковую стенку банки. Почему? Положите монету внутрь банки с водой. Что изменилось и почему?
Пьер Ферма сформулировал принцип (то есть, общее утверждение), которому подчиняется распространение света в различных средах. Принцип, как и аксиома не доказывается. Из него получаются следствия, которые проверяются опытным путем. Сформулируем его.
Пусть свет распространяется между двумя точками по некоторому пути. На элементе пути ΔS скорость света равнялась v. Она может быть различна на разных участках. Тогда затраченное на этот участок время 
Полное время распространения света равно сумме времен, потраченных на все участки. На математическом языке это записывается как Ферма предположил, что это время должно быть минимальным из возможных
. То есть, перебрав все траектории, соединяющие начальную и конечную точку, мы должны найти ту, время движения света по которой минимально. Именно по этому пути «пойдет» световой луч. Величина называется оптической длиной пути
. Величину n нельзя вынести за знак суммы, потому что она может быть различной на разных участках пути. Именно оптическая длина пути, а не геометрическая длина, должна быть наименьшей. Отсюда же следует принцип изохронизма световых лучей. Если из точки А в точку В свет распространяется по нескольким путям, то время распространения по ним одинаково.
Попробуем получить из этого принципа аксиомы геометрической оптики.
Прямолинейное распространение луча в однородной среде. Если луч движется из А в В без отражений в среде с постоянным показателем преломления n, то Это означает, что нужно выбрать путь из А в В минимальной геометрической длины . Ясно, что это будет прямая линия.
Закон зеркального отражения. Пусть свет пришел из А в В, испытав отражение в плоском зеркале.
Найдем точку О на зеркале, в которой произошло отражение. Отразив в зеркале точку В и получив точку В’, приходим к выводу, что длина ломаной AOB’ равна длине AOB. Очевидно, что AOB’ минимально по длине, когда это прямой отрезок. Получаем два вертикальных угла, один из которых обозначен двумя дугами, поэтому углы падения и преломления, обозначенные одной дугой, также должны быть равны. Точка О должна лежать в той вертикальной плоскости, в которой лежат перпендикуляры, опущенные из А и В на отражающую плоскость (иначе путь АОВ удлинится). Поэтому лучи АО и ОВ лежат в одной плоскости с перпендикуляром, опущенным в точку О.
Преломление луча на плоской границе. Пусть точки А и В лежат в средах, с показателями преломления n 2 и n 1 (n 2 >n 1), разделенные плоской границей. Легко сообразить, что в этом случае прямая АВ уже не будет соответствовать наименьшему времени. Поскольку, если мы сдвинем точку, в которой свет переходит из первой среды во вторую слегка налево, то путь, который свет пройдет в «медленной среде» сократится. А путь, пройденный в «быстрой» (имеющей меньший n) примерно на столько же удлинится. Результирующее время уменьшится. И так мы будем двигаться налево до тех пор, пока укорачивание времени в верхней среде не будет полностью компенсироваться удлинением его в нижней.
Второй рисунок показывает эту ситуацию. Если мы переместимся влево на малое расстояние вдоль границы A 1 A 2 , то геометрический путь в верхней среде сократится на A 2 B 2 , а оптический на n 2 A 2 B 2 , в нижней среде геометрический путь удлинится на A 1 B 1 , а оптический на n 1 A 1 B 1 . Мы достигнем минимума времени, если оптическую длину пути уже нельзя будет уменьшать такими шажками. То есть, укорачивание верхнего оптического пути равно удлинению нижнего n 1 A 1 B 1 =n 2 A 2 B 2 . По чертежу мы видим, что и где углы обозначены одной и двумя дугами соответственно. Из равенства получим выполнение принципа Ферма приводит к известному закону преломления светового луча на границе разных сред.
Принцип Ферма представляет собой пример используемых в теоретической физике вариационных принципов. Для каждой траектории вычисляется определенная величина (в нашем случае – оптическая длина пути), после чего ищется такая траектория, на которой эта величина принимает минимальное (или максимальное) значение. Именно эта траектория и будет истинной. Подобно законам сохранения, вариационные принципы накладывают ограничения на происходящие события, делая их течение определенным. Почему законы сохранения и вариационные принципы «работают» - вопрос того же сорта, что и «Почему все тела притягиваются друг к другу всемирным тяготением».
Загрузка...
