Калькулятор онлайн. Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные

Квадратными неравенствами называют , которые можно привести к виду \(ax^2+bx+c\) \(⋁\) \(0\), где \(a\),\(b\) и \(с\) - любые числа (причем \(a≠0\)), \(x\) – неизвестная , а \(⋁\) – любой из знаков сравнения (\(>\),\(<\),\(≤\),\(≥\)).

Проще говоря, такие неравенства выглядят как , но со вместо знака равно.
Примеры:

\(x^2+2x-3>0\)
\(3x^2-x≥0\)
\((2x+5)(x-1)≤5\)

Как решать квадратные неравенства?

Квадратные неравенства обычно решают . Ниже приведен алгоритм, как решать квадратные неравенства с дискриминантом больше нуля. Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.

Пример. Решите квадратное неравенство \(≥\) \(\frac{8}{15}\)
Решение:

\(\frac{x^2}{5}+\frac{2x}{3}\) \(≥\) \(\frac{8}{15}\)
\(D=100+4⋅3⋅8=196=14^2\) \(x_1=\frac{-10-14}{6}=-4\) \(x_2=\frac{-10+14}{6}=\frac{2}{3}\)		Когда корни найдены, запишем неравенство в виде.
\(3(x+4)(x-\frac{2}{3})≥0\)		Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.
		Выпишем в ответ интересующие нас интервалы. Так как знак неравенства \(≥\), то нам нужны интервалы со знаком \(+\), при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).

Ответ : \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac{2}{3};∞)\)

Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом

Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть имеет \(2\) корня. Что делать в остальных случаях? Например, таких:

\(1) x^2+2x+9>0\)	\(2) x^2+6x+9≤0\)	\(3)-x^2-4x-4>0\)	\(4) -x^2-64<0\)
\(D=4-36=-32<0\)			\(D=-4 \cdot 64<0\)

Если \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

То есть, выражение:
\(x^2+2x+9\) – положительно при любых \(x\), т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - отрицательно при любых \(x\), т.к. \(a=-1<0\)

Если \(D=0\), то квадратный трехчлен при одном значении \(x\) равен нулю, а при всех остальных имеет постоянный знак, который совпадает со знаком коэффициента \(a\).

То есть, выражение:
\(x^2+6x+9\) - равно нулю при \(x=-3\) и положительно при всех остальных иксах, т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - равно нулю при \(x=-2\) и отрицательно при всех остальных, т.к. \(a=-1<0\).

Как найти икс, при котором квадратный трехчлен равен нулю? Нужно решить соответствующее квадратное уравнение.

С учетом этой информации давайте решим квадратные неравенства:

1) \(x^2+2x+9>0\) \(D=4-36=-32<0\)		Неравенство, можно сказать, задает нам вопрос: «при каких \(x\) выражение слева больше нуля?». Выше мы уже выяснили, что при любых. В ответе можно так и написать: «при любых \(x\)», но лучше туже самую мысль, выразить на языке математики.
Ответ: \(x∈(-∞;∞)\)
2) \(x^2+6x+9≤0\) \(D=36-36=0\)		Вопрос от неравенства: «при каких \(x\) выражение слева меньше или равно нулю?» Меньше нуля оно быть не может, а вот равно нулю – вполне. И чтобы выяснить при каком иске это произойдет, решим соответствующие квадратное уравнение.
		Давайте соберем наше выражение по \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\).
		Сейчас нам мешает только квадрат. Давайте вместе подумаем - какое число в квадрате равно нулю? Ноль! Значит, квадрат выражения равен нулю только если само выражение равно нулю.
\(x+3=0\) \(x=-3\)		Это число и будет ответом.
Ответ: \(-3\)
3)\(-x^2-4x-4>0\) \(D=16-16=0\)		Когда выражение слева больше нуля? Как выше уже было сказано выражение слева либо отрицательно, либо равно нулю, положительным оно быть не может. Значит ответ – никогда. Запишем «никогда» на языке математике, с помощью символа «пустое множество» - \(∅\).
Ответ: \(x∈∅\)
4) \(-x^2-64<0\) \(D=-4 \cdot 64<0\)		Когда выражение слева меньше нуля? Всегда. Значит неравенство выполняется при любых \(x\).
Ответ: \(x∈(-∞;∞)\)

Определение квадратного неравенства

Замечание 1

Квадратным неравенство называется т.к. переменная возведена в квадрат. Также квадратные неравенства называют неравенствами второй степени .

Пример 1

Пример .

$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – квадратные неравенства.

Как видно из примера, не все элементы неравенства вида $ax^2+bx+c > 0$ присутствуют.

Например, в неравенстве $\frac{5}{11} y^2+\sqrt{11} y>0$ нет свободного члена (слагаемое $с$), а в неравенстве $11z^2+8 \le 0$ нет слагаемого с коэффициентом $b$. Такие неравенства также являются квадратными, но их еще называют неполными квадратными неравенствами . Это лишь означает, что коэффициенты $b$ или $с$ равны нулю.

Методы решения квадратных неравенств

При решении квадратных неравенств используют такие основные методы:

• графический;
• метод интервалов;
• выделения квадрата двучлена.

Графический способ

Замечание 2

Графический способ решения квадратных неравенств $ax^2+bx+c > 0$ (или со знаком $

Данные промежутки и являются решением квадратного неравенства .

Метод интервалов

Замечание 3

Метод интервалов решения квадратных неравенств вида $ax^2+bx+c > 0$ (знак неравенства может быть также $

Решениями квадратного неравенства со знаком $«»$ – положительные промежутки, со знаками $«≤»$ и $«≥»$ – отрицательные и положительные промежутки (соответственно), включая точки, которые отвечают нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Метод решения квадратного неравенства выделением квадрата двучлена заключается в переходе к равносильному неравенству вида $(x-n)^2 > m$ (или со знаком $

Неравенства, которые сводятся к квадратным

Замечание 4

Зачастую при решении неравенств их нужно привести к квадратным неравенствам вида $ax^2+bx+c > 0$ (знак неравенства может быть также $ неравенствами, которые сводятся к квадратным.

Замечание 5

Самым простым способом приведения неравенств к квадратным может быть перестановка в исходном неравенстве слагаемых или перенос их, например, из правой части в левую.

Например, при переносе всех слагаемых неравенства $7x > 6-3x^2$ из правой части в левую получается квадратное неравенство вида $3x^2+7x-6 > 0$.

Если переставить в левой части неравенства $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ слагаемые в порядке убывания степени переменной $у$, то это приведет к равносильному квадратному неравенству вида $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$.

При решении рациональных неравенств часто используют приведение их к квадратным неравенствам. При этом необходимо перенести все слагаемые в левую часть и преобразовать получившееся выражение к виду квадратного трехчлена.

Пример 2

Пример .

Привести неравенство $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ к квадратному.

Решение .

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.

Используя формулы сокращенного умножения и раскрывая скобки, упростим выражение в левой части неравенства:

$7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;

$x^2-21,5x-19 > 0$.

Ответ : $x^2-21,5x-19 > 0$.

Один из самых удобных методов решения квадратных неравенств – это графический метод. В этой статье мы разберем, как решаются квадратные неравенства графическим способом. Сначала обсудим, в чем суть этого способа. А дальше приведем алгоритм и рассмотрим примеры решения квадратных неравенств графическим способом.

Навигация по странице.

Суть графического способа

Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов. Суть графического способа решения неравенств следующая: рассматривают функции y=f(x) и y=g(x) , которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого. Те промежутки, на которых

• график функции f выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)>g(x) ;
• график функции f не ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)≥g(x) ;
• график функции f ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)
• график функции f не выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)≤g(x) .

Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x) .

Перенесем эти результаты на наш случай – для решения квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c<0 (≤, >, ≥).

Вводим две функции: первая y=a·x 2 +b·x+c (при этом f(x)=a·x 2 +b·x+c) отвечает левой части квадратного неравенства, вторая y=0 (при этом g(x)=0 ) отвечает правой части неравенства. Графиком квадратичной функции f является парабола, а графиком постоянной функции g – прямая, совпадающая с осью абсцисс Ox .

Дальше согласно графическому способу решения неравенств надо проанализировать, на каких промежутках график одной функции расположен выше или ниже другого, что позволит записать искомое решение квадратного неравенства. В нашем случае нужно проанализировать положение параболы относительно оси Ox .

В зависимости от значений коэффициентов a , b и c возможны следующие шесть вариантов (для наших нужд достаточно схематического изображения, и можно не изображать ось Oy , так как ее положение не влияет на решения неравенства):

На этом чертеже мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось Ox в двух точках, абсциссы которых есть x 1 и x 2 . Этот чертеж отвечает варианту, когда коэффициент a – положительный (он отвечает за направленность вверх ветвей параболы), и когда положительно значение дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c (при этом трехчлен имеет два корня, которые мы обозначили как x 1 и x 2 , причем приняли, что x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0 , x 1 =−2 , x 2 =3 .

Давайте для наглядности изобразим красным цветом части параболы, расположенные выше оси абсцисс, а синим цветом – расположенные ниже оси абсцисс.


Теперь выясним, какие промежутки этим частям соответствуют. Определить их поможет следующий чертеж (в дальнейшем подобные выделения в форме прямоугольников будем проводить мысленно):


Так на оси абсцисс оказались подсвечены красным цветом два промежутка (−∞, x 1) и (x 2 , +∞) , на них парабола выше оси Ox , они составляют решение квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , а синим цветом подсвечен промежуток (x 1 , x 2) , на нем парабола ниже оси Ox , он представляет собой решение неравенства a·x 2 +b·x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А теперь кратко: при a>0 и D=b 2 −4·a·c>0 (или D"=D/4>0 при четном коэффициенте b )

• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) или в другой записи xx 2 ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, x 1 ]∪ или в другой записи x 1 ≤x≤x 2 ,

где x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c , причем x 1


Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x 0 . Представленному случаю отвечает a>0 (ветви направлены вверх) и D=0 (квадратный трехчлен имеет один корень x 0 ). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x 2 −4·x+4 , здесь a=1>0 , D=(−4) 2 −4·1·4=0 и x 0 =2 .

По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом.


Делаем выводы: при a>0 и D=0

• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) или в другой записи x≠x 0 ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, +∞) или в другой записи x∈R ;
• квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c≤0 имеет единственное решение x=x 0 (его дает точка касания),

где x 0 - корень квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c .


В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0 (ветви направлены вверх) и D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очевидно, парабола расположена выше оси Ox на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox , нет точки касания).


Таким образом, при a>0 и D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 и a·x 2 +b·x+c≥0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x 2 +b·x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox . В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1 позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x 2 . Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты.

Алгоритм решения

Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом :

На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox (ось Oy изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c . Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента:

• Во-первых, по значению коэффициента a выясняется, куда направлены ее ветви (при a>0 – вверх, при a<0 – вниз).
• А во-вторых, по значению дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c выясняется, пересекает ли парабола ось абсцисс в двух точках (при D>0 ), касается ее в одной точке (при D=0 ), или не имеет общих точек с осью Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма

  • при решении квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс;
  • при решении неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);
  • при решении неравенства a·x 2 +b·x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • наконец, при решении квадратного неравенства вида a·x 2 +b·x+c≤0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);

  они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма.

Примеры с решениями

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Нам требуется решить квадратное неравенство, воспользуемся алгоритмом из предыдущего пункта. На первом шаге нам нужно изобразить эскиз графика квадратичной функции . Коэффициент при x 2 равен 2 , он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Выясним еще, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки, для этого вычислим дискриминант квадратного трехчлена . Имеем . Дискриминант оказался больше нуля, следовательно, трехчлен имеет два действительных корня: и , то есть, x 1 =−3 и x 2 =1/3 .

Отсюда понятно, что парабола пересекает ось Ox в двух точках с абсциссами −3 и 1/3 . Эти точки изобразим на чертеже обычными точками, так как решаем нестрогое неравенство. По выясненным данным получаем следующий чертеж (он подходит под первый шаблон из первого пункта статьи):

Переходим ко второму шагу алгоритма. Так как мы решаем нестрогое квадратное неравенство со знаком ≤, то нам нужно определить промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс и добавить к ним абсциссы точек пересечения.

Из чертежа видно, что парабола ниже оси абсцисс на интервале (−3, 1/3) и к нему добавляем абсциссы точек пересечения, то есть, числа −3 и 1/3 . В результате приходим к числовому отрезку [−3, 1/3] . Это и есть искомое решение. Его можно записать в виде двойного неравенства −3≤x≤1/3 .

Ответ:

[−3, 1/3] или −3≤x≤1/3 .

Пример.

Найдите решение квадратного неравенства −x 2 +16·x−63<0 .

Решение.

По обыкновению начинаем с чертежа. Числовой коэффициент при квадрате переменной отрицательный, −1 , поэтому, ветви параболы направлены вниз. Вычислим дискриминант, а лучше – его четвертую часть: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1 . Его значение положительно, вычислим корни квадратного трехчлена: и , x 1 =7 и x 2 =9 . Так парабола пересекает ось Ox в двух точках с абсциссами 7 и 9 (исходное неравенство строгое, поэтому эти точки будем изображать с пустым центром).Теперь можно сделать схематический рисунок:

Так как мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком <, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

По чертежу видно, что решениями исходного квадратного неравенства являются два промежутка (−∞, 7) , (9, +∞) .

Ответ:

(−∞, 7)∪(9, +∞) или в другой записи x<7 , x>9 .

При решении квадратных неравенств, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части равен нулю, нужно быть внимательным с включением или исключением из ответа абсциссы точки касания. Это зависит от знака неравенства: если неравенство строгое, то она не является решением неравенства, а если нестрогое – то является.

Пример.

Имеет ли квадратное неравенство 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хотя бы одно решение?

Решение.

Построим график функции y=10·x 2 −14·x+4,9 . Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2 положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0,7 , так как D"=(−7) 2 −10·4,9=0 , откуда или 0,7 в виде десятичной дроби. Схематически это выглядит так:

Так как мы решаем квадратное неравенство со знаком ≤, то его решением будут промежутки, на которых парабола ниже оси Ox , а также абсцисса точки касания. Из чертежа видно, что нет ни одного промежутка, где бы парабола была ниже оси Ox , поэтому его решением будет лишь абсцисса точки касания, то есть, 0,7 .

Ответ:

данное неравенство имеет единственное решение 0,7 .

Пример.

Решите квадратное неравенство –x 2 +8·x−16<0 .

Решение.

Действуем по алгоритму решения квадратных неравенств и начинаем с построения графика. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x 2 отрицательный, −1 . Найдем дискриминант квадратного трехчлена –x 2 +8·x−16 , имеем D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 и дальше x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Итак, парабола касается оси Ox в точке с абсциссой 4 . Выполним чертеж:

Смотрим на знак исходного неравенства, он есть <. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

В нашем случае это открытые лучи (−∞, 4) , (4, +∞) . Отдельно заметим, что 4 - абсцисса точки касания - не является решением, так как в точке касания парабола не ниже оси Ox.

Ответ:

(−∞, 4)∪(4, +∞) или в другой записи x≠4 .

Обратите особое внимание на случаи, когда дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части квадратного неравенства, меньше нуля. Здесь не нужно спешить и говорить, что неравенство решений не имеет (мы же привыкли делать такой вывод для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Дело в том, что квадратное неравенство при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Пример.

Найдите решение квадратного неравенства 3·x 2 +1>0 .

Решение.

Как обычно начинаем с чертежа. Коэффициент a равен 3 , он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вычисляем дискриминант: D=0 2 −4·3·1=−12 . Так как дискриминант отрицателен, то парабола не имеет с осью Ox общих точек. Полученных сведений достаточно для схематичного графика:

Мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком >. Его решением будут все промежутки, на которых парабола находится выше оси Ox . В нашем случае парабола выше оси абсцисс на всем ее протяжении, поэтому искомым решением будет множество всех действительных чисел.

Ox , а также к ним нужно добавить абсциссы точек пересечения или абсциссу точки касания. Но по чертежу хорошо видно, что таких промежутков нет (так как парабола всюду ниже оси абсцисс), как нет и точек пересечения, как нет и точки касания. Следовательно, исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Ответ:

нет решений или в другой записи ∅.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.